目錄魔鬼數(shù)學(xué)適合什么人看 清華最難奧數(shù)題 《圓周率之歌》 魔鬼數(shù)學(xué)全文 魔鬼數(shù)學(xué)免費
一、彩票是否值得買
亞當(dāng).斯密是反對者之一，因為人們過高估計了中獎的概率。
假設(shè)彩票兌獎10000次，棚搏尺但是組織機(jī)構(gòu)為了賺錢，可能獲獎的名額只有1個，獎金肯定小于10000，比如就是6000元，所以你買一注，中將概率為1/10000，如果你買2注，概率會稍微高一點點，但是還是很低。如果你買6000注，有60%中獎概率，40%不中獎，雖然中獎概率變大，但最好的結(jié)果也就就是不虧不贏。如果你買10000注，那么你肯定會中獎，但是你會虧4000元。（彩票案例）
亞當(dāng).斯密的推斷中缺失了“期望值”，什么是期望值？對于每一種可能的結(jié)果，將出現(xiàn)該結(jié)果的概率與該結(jié)果所對于的彩票銀歲價值相乘。假設(shè)1注彩票兌獎10000次，其中有9999次是無效的，有一次是6000元，那么：出現(xiàn)虧的概率為9999/10000,即沒有中獎，得到0元。出現(xiàn)獲利的概率為1/10000，得到6000元。故該彩票價值的期望值為（9999/10000）*0+（1/10000）*6000=0.6元
二、期望值并不是我們所期望的價值
雖然算出來“期望值”為0.6，但是我們期望的彩票價值是6000元，數(shù)學(xué)中的“期望值”概念并不是我們所期望的價值。
三、如何為終身年金保險定價
年金多少要考慮年齡，如老奶奶預(yù)期存活的時間短，因此購買終身年金保險時需要支付的錢應(yīng)該小于比她年紀(jì)小的人所支付的金額。
向年輕人多收錢不是顯而易見的事情嗎？但事實并不是那么顯而易見。
四、別玩強(qiáng)力球
1.別玩強(qiáng)力球，因為強(qiáng)力球彩票期望值小于花費金額，不值得購買。
2.如果一定要買強(qiáng)力球，等到累計獎金非常高的時候再買。
3.盡可能降低與其他人分享大家的概率。
強(qiáng)力球只是彩票的一種形式，所有彩票都有一個共同特點：勝算不大。
五、麻省理工學(xué)院學(xué)生買彩票的故事
但是，也有例外，比如“cash winfall”彩票，該彩票獎金規(guī)則：如果一周之內(nèi)沒有人領(lǐng)走累積獎金，獎金就會向下分配，增加容易贏取鏈高的獎項的金額，累積獎金將會被重置，在下一次開獎時降到50萬美元的最低額度。
獎金向下分配時，回報率會大大增加，每張彩票的期望值就增加，這時候麻省理工的大學(xué)生一次性買1000張彩票，這就是期望值的相加性。
六、布封的硬幣、縫衣針和面條問題
硬幣問題：把硬幣扔到一個方形地磚上，硬幣是完全落在一塊磚上還是騎在磚縫上。
數(shù)學(xué)是我們從小學(xué)到高中甚至作為理科生畢生都要學(xué)習(xí)的知識。但是我們除了在生活中運用基本的加減乘除法之外，似乎也想不到數(shù)學(xué)能給我們的生活帶來哪些改變。曾經(jīng)我也是這么認(rèn)為，不過看完《魔鬼數(shù)學(xué)》這本書之后，我對數(shù)學(xué)有了很大的改觀。這本書讓我知道數(shù)學(xué)對于我們來說并不遙遠(yuǎn)，也不像我們想象的那么深奧，很多的數(shù)學(xué)知識都來自生活之中。
很多的時候我們在無意識中已經(jīng)在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，但是正因為對數(shù)學(xué)知識的不理解才讓我們在不知不覺中走向了事與愿違的境地。比如，我們有時候會認(rèn)為某樣?xùn)|西有價值，因此理所當(dāng)然的認(rèn)為多多益善。這便是一種線性推理。而很多時候，線性思維往往是一種片面的思考方法。比如政府稅收，很多人認(rèn)答攜為政府的稅收和稅率成正比（即線性），因此認(rèn)為提高稅率就會增加政府的稅收。其實不然，過高的稅率會降低人們勞動的積極性，使總價值變小，那么稅收也會變少。因此稅率和稅收之間的關(guān)系是非線性的。
非線性思維表明，正確的前進(jìn)方向取決于你當(dāng)前所在的位置。如上圖所示，如果目前的稅率處在最高稅收的左側(cè)，那么可以提高稅率。如果目前的稅率處在最高稅收的右側(cè)，則降低稅率才是一個好選擇。
對于線性思維和非線性思維，我們在沒有了解這些數(shù)學(xué)知識之前，并不會太在意它們之間的區(qū)別。但是就像下面的這個例子，我們將會知道數(shù)學(xué)給人帶來清數(shù)伏多么大的震驚。
一位股票經(jīng)紀(jì)人主動給你發(fā)來 一份行業(yè)資訊，透露了某只股票將要大漲的消息。一周之后你發(fā)現(xiàn)這只股票果然漲了。第二周，這位經(jīng)紀(jì)人預(yù)言某只股票會跌，結(jié)果出乎預(yù)料的又應(yīng)驗了。一連10周，這位經(jīng)紀(jì)人對不同股票漲跌的預(yù)言全部應(yīng)驗。那么請問，你會相信這位經(jīng)紀(jì)人，并花重金請他來管理你的資金嗎？
我想很多人會迫不及待的把自己財產(chǎn)交給這位經(jīng)紀(jì)人吧。但是，如果從這位經(jīng)紀(jì)人的視角來講這個故事，情況就大不一樣了。第一周，經(jīng)紀(jì)人一共發(fā)出了10240份行業(yè)資訊，其中一半預(yù)測股票會漲，一半預(yù)測股票會跌。如此，第二周，收到預(yù)測錯誤資訊的5120人被忽略，包括你在內(nèi)的收到預(yù)測正確資訊的5120人將會繼續(xù)被分為兩組，一組收到預(yù)測股票會漲的資訊，另一組剛好相反。如此反復(fù)。到第10周，會有10名幸運兒會連續(xù)10次收到這位經(jīng)紀(jì)人的正確預(yù)測。無論股市是什么情況，這個結(jié)果都不會改變。
即便這個股票經(jīng)紀(jì)人是個什么都不懂的外行，最終都會有10個人在收到10期正確預(yù)測的股票資訊之后，認(rèn)為此經(jīng)紀(jì)人是個天才，從而騙到大把的資金。這個之所以能夠奏效，是因為它告訴你的不是虛假信息，而是巧妙的利用數(shù)學(xué)原理讓你形成錯誤的結(jié)論。連續(xù)10次都猜對的情況雖然屬于小概率事件，但是在樣本足夠大的情況下，的確可能發(fā)生。
小概率事件并不少見。遭遇雷擊或是彩票中獎的可能性就非常小，但是這樣的事情卻不斷發(fā)生。這是因為世界畢敗上人口眾多，有很多人買彩票，如果視野放得足夠?qū)挘蠖鄶?shù)巧合事件就不足為奇了。
正是因為很多人不明白概率這個數(shù)學(xué)知識，才相信買彩票可預(yù)測，才在一個又一個中不知所措。由此可見，數(shù)學(xué)知識在生活中的確應(yīng)該有舉足輕重的位置。本書給了我很多的啟發(fā)，讓我重新認(rèn)識了數(shù)學(xué)，也讓我對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣。
我們?yōu)槭裁磳W(xué)數(shù)學(xué)？學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用？數(shù)學(xué)到底難不難？
對于大多數(shù)人而言，數(shù)學(xué)伴隨著我們教育的整個歷程。我們時常沉浸于那一堆堆的數(shù)字和公式，仿佛身處汪洋之中。
數(shù)學(xué)對于我們的生活，最有用的不外乎加減乘除。難道我們?nèi)绱硕嗄甑臄?shù)學(xué)教育只是為了簡單的計算？
喬丹艾倫伯格是數(shù)學(xué)界的超級明星，他在大學(xué)數(shù)學(xué)系任教，同時致力于零基礎(chǔ)受眾的數(shù)學(xué)科普。《魔鬼數(shù)學(xué)》一書當(dāng)中沒有過多的復(fù)雜公式，它的意義在于喚醒人的數(shù)學(xué)思維，并將其應(yīng)用于生活當(dāng)中。
數(shù)學(xué)知識可以分為四個象限。
第一個象限，簡單而淺顯的數(shù)學(xué)知識。比如簡單的加減乘除、三角函數(shù)。
第二個象限，復(fù)雜但是淺顯的數(shù)學(xué)知識。比如多位數(shù)的計算。
第三個象限，復(fù)雜且深奧的數(shù)學(xué)知識。比如黎曼假設(shè)、費馬定理。這個象限幾乎為數(shù)學(xué)家的專屬，普通人難以窺其萬一。
第四個象限，簡單而深奧的數(shù)學(xué)知識。比如隨機(jī)性、因果關(guān)系。這個象限的知識我們平時學(xué)不到但十分重要。這本書便是專門介紹這一象限。
書中列舉的一個故事十分的經(jīng)典，這個故事是“失蹤的彈孔”。
第二次世界大戰(zhàn)期間，美國軍方秘密建立了一個統(tǒng)計研究小組，目的是為戰(zhàn)爭中的美軍服務(wù)。有一次，軍方為了不讓自己的飛機(jī)被擊落，想在飛機(jī)上增加裝甲。但裝甲太多會影響飛機(jī)飛行，于是增加多少裝甲便是想讓數(shù)學(xué)家解決的問題。
軍方提供了大量數(shù)據(jù)，美軍飛機(jī)在和敵方交火并返回后，會留下很多彈孔。軍方發(fā)現(xiàn)，在返回的飛機(jī)上，機(jī)身上的彈孔會比引擎上的彈孔更多。于是他們判斷機(jī)身是更應(yīng)該保護(hù)的部分，而在機(jī)身上增加多少裝甲正是他們想要知道的東西。
故事說到這里，軍方的觀點似乎沒喊中穗問題。機(jī)身上的彈孔比引擎上的多，機(jī)身中彈的概率更大，那么機(jī)身更需要保護(hù)。
但數(shù)學(xué)家瓦爾德給出了不一樣的看法。裝甲最應(yīng)該裝配的地方并不是彈孔多的機(jī)身，而是彈孔少的引擎。
這是為什么？讀到這里，大腦一堆的問號。
原來，子彈不會長眼睛，機(jī)身和引擎上的彈孔數(shù)量應(yīng)該差不多。為什么引擎上的更少？因為被統(tǒng)計數(shù)據(jù)的飛機(jī)都是幸存下來，機(jī)身中彈更多的一部分。而引擎中彈更多的那部分去哪里了呢？它們被擊落了，無法被用于數(shù)據(jù)統(tǒng)計。這說明軍方用來統(tǒng)計彈孔的飛機(jī)并不具有代表性。在中彈概率相同的條件下，擊中引擎更容易導(dǎo)致飛機(jī)墜落。
因此引擎更應(yīng)該被保護(hù)。
看到這里才恍然大悟。軍官的空戰(zhàn)知識遠(yuǎn)超瓦爾德，但也會犯這種先入為主的錯誤。瓦爾德能看到軍官看不到的東西，這便是數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用。
數(shù)學(xué)家把軍官的這種失誤稱為“幸存者偏差”，也就是說，你只看到了幸存下來的，卻沒有看到那些已經(jīng)失敗和消亡的。
再比如，隨著經(jīng)濟(jì)和醫(yī)療條件的發(fā)展，人的壽命逐漸提高，但患癌癥的人逐年增加。難道是生活條件改善促使人患癌鄭卜癥的概率增加？真實情況之一是，癌癥屬于老年病，以前生活條件艱難時，壽命較短，很多老人還沒有來得及患病就去世了。
我們每個人都有數(shù)學(xué)基因，只不過不熟悉數(shù)學(xué)的表達(dá)方式。
我們在大腦中從事數(shù)學(xué)運算的功能區(qū)，實際上也是我們使用語言的功能區(qū)。
數(shù)學(xué)和語言同宗同源，都是為了探索某種模式，而且是為了說給別人聽，并理解別人是什么意思。你天生的語言能力，就是掌握數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)。
中國的孩子數(shù)學(xué)更加優(yōu)秀，除了教育模式之外，漢語的發(fā)音方式也有重要的作用。漢語可以讓數(shù)字的描述更加簡潔。
未來可不可以被預(yù)測？
未來很難被預(yù)測，未來在一定程度上可以被預(yù)測。預(yù)測未來最好的方法是線性外推。
線性外推的定義是什么？線性趨勢外推法是最簡單的外推法。這種方法可用來研究隨時間按恒定增長率變化的事物。在以時間為橫坐標(biāo)的坐標(biāo)圖中，事物的變化接近一條直線。根據(jù)這條直線，可以推斷事物未來的變化。培禪
這種方法只適用于隨著時間線性變化的事物，比如人會逐漸衰老、太陽的東升西落。
預(yù)測短期和長期的技術(shù)難度相對較小，預(yù)測中期更為復(fù)雜。
預(yù)測短期趨勢時，我們可能會高估；預(yù)測長期趨勢時，我們可能會低估。
這說明一件事情短期之內(nèi)很難看到效果，持之以恒、長期發(fā)展才會有意想不到的效果。
線性外推并不是十全十美。它有時只在一定范圍之內(nèi)起作用。比如小孩子身高一定會逐漸長高，但不會一直長高。成績不好的人努力學(xué)習(xí)，成績會越來越好，但不會一直好到超越所有人。
人類是容易輕信的，我們會試圖尋找世間萬物的聯(lián)系，即使找到的僅僅是錯誤的聯(lián)系。我們會在找到第一個支持證據(jù)之后就放手，不再思考這種聯(lián)系到底是不是存在的，是因果關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系。
數(shù)學(xué)思維是一種本能。抽象是數(shù)學(xué)的箱中最有威力的。
四種抽象思維的層次。“眼見為實”、“想到為實”、“眼見為虛”、“想到為虛”。
前三種每個人都能熟練掌握，只有第四種需要我們加強(qiáng)鍛煉。
回歸平均。回歸平均是一種統(tǒng)計學(xué)的現(xiàn)象，一旦遇到隨機(jī)性成功后，以后必定會出現(xiàn)回歸平均。
比如一個棒球選手打出一場超常發(fā)揮的成功比賽之后，除非之后的每場比賽都更加超水平發(fā)揮，否則就會不如前一次而“回歸平均”。
父母都是十分聰明的人，生下的孩子是否更加聰明？更大的概率是孩子不如父母聰明。如果預(yù)測孩子的智商，可以這樣計算：父母智商的平均值和普通人的智商再取平均值。顯然，每個人的智商都趨向于大眾，智商很高和智商很低都是偶然事件。
如果將這種現(xiàn)象應(yīng)用于財富，我們應(yīng)當(dāng)明白，沒有永恒的財富，只有勤勞的人。
本周繼續(xù)延續(xù)思維訓(xùn)練模塊的閱讀，主題是 “數(shù)學(xué)思維” ，精讀書是美國威斯康星大學(xué)數(shù)學(xué)系教授 喬丹·艾倫伯格 寫的 《魔鬼數(shù)學(xué)》 。
提到數(shù)學(xué)，可能有不少人會眉頭一皺，仿佛回到那個掉落鉛筆的午后，撿起來就再也聽不懂?dāng)?shù)學(xué)老師的推導(dǎo)了，著實讓人焦慮、惆悵。在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識看上去不過是一堆沉悶的規(guī)則、定律和公理，我們在中學(xué)學(xué)了三角函數(shù)，到了大學(xué)又學(xué)了微積分，但是，大部分成年人在他們的日常生活中，能有幾次用到余切函數(shù)或是不定積分的時候？那我們?yōu)槭裁催€要學(xué)這些由前人傳下來看起來又不容置疑的數(shù)學(xué)呢？
在這本《魔鬼數(shù)學(xué)》中，作者 摒棄了復(fù)雜的專業(yè)術(shù)語，用現(xiàn)實世界中的逸事、基礎(chǔ)的方程式和簡單的圖表，來講述數(shù)學(xué)的魅力，以及如何獲得用數(shù)學(xué)原則解決生活中問題的技巧。 喬丹?艾倫伯格認(rèn)為，數(shù)學(xué)是人類最重要的基礎(chǔ)科學(xué)之一，也是生活中最有用的思維。 數(shù)學(xué)可以幫助我們更好地了解這個世界的結(jié)構(gòu)和本質(zhì)，應(yīng)該被放在每個有思想的人的箱里，特別是在當(dāng)下的大數(shù)據(jù)時代，我們更需要借助數(shù)學(xué)思維的力量，用于更好地解決問題，規(guī)避謬誤和錯誤的方法。
書的一開始作者就提出一個觀點， 數(shù)學(xué)知識可以分為四個象限，我們只需要重點關(guān)注其中的一個象限就行。
第一個象限是 簡單而淺顯 的數(shù)學(xué)知識。這些數(shù)學(xué)知識看起來更為復(fù)雜，但從理解的難度上來講，其實也是非常簡單的。
第二個象限是 復(fù)雜但是淺顯 的數(shù)學(xué)知識。這些數(shù)學(xué)需要一些解題技巧，需要更細(xì)心，但是，這些仍然只是淺顯的數(shù)學(xué)知識。我們在學(xué)校里花費了大量的時間學(xué)習(xí)解題技巧，其實對于領(lǐng)會數(shù)學(xué)的美并沒有幫助，相反，可能還讓我們對數(shù)學(xué)倒了胃口。
第三個象限是 復(fù)雜而且深奧 的數(shù)學(xué)知識。這是專業(yè)從事數(shù)學(xué)研究的人感興趣的領(lǐng)域，要想進(jìn)入這個領(lǐng)域，需要一定的數(shù)學(xué)天分，而且必須非常投入，付出艱辛的努力，一輩子孜孜以求。我們普通人可能只能在門口往里面瞄一眼，里面的神秘世界是什么樣子的，我們并不清楚。這個領(lǐng)域的知識態(tài)掘是供我們這些普通人膜拜的。
最值得學(xué)習(xí)的是第四個象限的數(shù)學(xué)知識，也就是 簡單而深奧 的數(shù)學(xué)知識。 簡單，是因為這都是入門的知識；深奧，是因為這些知識是違反我們的直覺的，或是需要我們更縝密地推理的 。比如，對隨機(jī)性的理解、對因果關(guān)系的理解、對回歸的理解，都屬于這一類。這里作者舉了一個 “消失的彈孔” 的故事 ：如果需要給戰(zhàn)機(jī)加裝裝甲，參考作戰(zhàn)后返航的戰(zhàn)機(jī)，應(yīng)該加裝在彈孔密集的機(jī)身，還是彈孔較少的引擎部位呢？二戰(zhàn)期間美國軍方的統(tǒng)計研究小組成員亞伯拉罕·瓦爾德認(rèn)為，需要加裝裝甲的地方不應(yīng)該是彈孔多的機(jī)身，而應(yīng)該是彈孔少的引擎。為什么會是這樣呢？先從一個理論假設(shè)來看。從理論上來高閉沖說，飛機(jī)各個部位中彈的概率應(yīng)該是一樣的。那么，為什么返航的飛機(jī)機(jī)身上的彈孔比引擎上的彈孔更多呢？換言之，引擎上本來應(yīng)該戚殲有的彈孔去哪里了？瓦爾德認(rèn)為，這是因為引擎被擊中的飛機(jī)都墜毀了。回來的飛機(jī)，機(jī)身上盡管留下了很多彈孔，卻仍然能夠經(jīng)得住打擊，所以才能安全返航。打個比方來說，如果我們到戰(zhàn)地醫(yī)院去統(tǒng)計受傷的士兵，你會發(fā)現(xiàn)，腿部中彈的士兵肯定比腦部中彈的士兵要多。腦部中彈的士兵很少能夠活下來，腿部中彈的士兵才有更大的概率存活。這就是所謂的 “幸存者偏差” ，也就是說， 我們只看到了幸存下來的，卻沒有看到那些已經(jīng)失敗和消亡的。
所以這本書主要講的，就是介紹怎么運用了第四象限的數(shù)學(xué)方法分析和解決日常生活的問題，作者用寓教于樂的案例與方法，幫助我們重新認(rèn)識了5個與數(shù)學(xué)有關(guān)的概念，分別是： 線性、推理、回歸、存在和期望值 。
要想預(yù)測未來，最好的辦法是從 確定性 開始。經(jīng)濟(jì)學(xué)家經(jīng)常要做預(yù)測。有一個笑話說，經(jīng)濟(jì)學(xué)家最喜歡干的事情就是預(yù)測，但是最不在行的事情也是預(yù)測。如果要預(yù)測短期或者要預(yù)測長期相對容易，但最難的是預(yù)測中期。
預(yù)測短期和長期的時候會有更大的確定性，因為最簡單的辦法就是線性外推。 線性外推的方法是說今天發(fā)生了什么，明天還會發(fā)生。在現(xiàn)實世界中，確實有很多現(xiàn)象是線性變化，或者是類似線性變化的。比如人的衰老，信息的增長，中國的工業(yè)化和城市化的不可逆發(fā)展。在線性的趨勢中，我們還可以再分辨出 硬趨勢 和 軟趨勢 。 硬趨勢是你可以測量或者感知出來的趨勢；軟趨勢是你似乎可以看得到，似乎可以預(yù)測出來的推測。 比如二戰(zhàn)結(jié)束后大批美國軍人回國，出現(xiàn)嬰兒潮，所以人口數(shù)據(jù)是我們看得見、可預(yù)測的硬趨勢；而人們本來認(rèn)為戰(zhàn)后企業(yè)訂單會暫時減少，經(jīng)濟(jì)因此出現(xiàn)衰退，可是并沒有發(fā)生預(yù)想的經(jīng)濟(jì)衰退，這就是一種更難預(yù)測的軟趨勢。
相對來說， 預(yù)測短期和預(yù)測長期技術(shù)難度相對較小，而預(yù)測中期更為復(fù)雜。 不說別的，在中期會有更多的波動，而這些波動的轉(zhuǎn)折點是很難預(yù)測的。比如，即使你知道股票存在著泡沫，但泡沫什么時候崩潰是很難預(yù)測的。即使你知道股價被低估，但被低估到什么時候會出現(xiàn)反彈也是很難預(yù)測的。
所以，在預(yù)測中期趨勢的時候，一定要慎之又慎。在預(yù)測中期趨勢的時候，噪音更多，規(guī)律更復(fù)雜。我們會遇到 波動 ，又會遇到 周期 。所以盡管線性趨勢是最簡單最直觀的，但是我們還要提醒自己， 不是所有的現(xiàn)象都是線性趨勢。盲目地應(yīng)用線性趨勢，有時會得出非常荒誕的結(jié)論。
再舉一個例子。最近在討論 特朗普減稅 的時候，媒體經(jīng)常會提到 拉弗曲線 。 拉弗曲線講的是，隨著稅率的提高，稅收一開始會增加，但是稅率太高，會影響到人們的勞動積極性，稅率會減少，稅收反而會減少。 拉弗曲線是對的嗎？從數(shù)學(xué)的角度來看，拉弗曲線可能是對的。拉弗曲線指出，稅率和稅收的關(guān)系并非是線性的。從常識上解釋稅率和工作意愿的關(guān)系似乎也說的通。但是為什么大部分經(jīng)濟(jì)學(xué)家對拉弗曲線嗤之以鼻呢？
因為 拉弗曲線缺乏堅實的理論基礎(chǔ) 。首先， 稅率不一定是決定政府稅收收入的最重要因素 ，提高稅收收入更有用的辦法可能是提高征稅效率。再者， 減稅之后，人們的工作積極性也不一定就會提高 ，畢竟影響人們工作積極性的因素是很復(fù)雜的。 有兩個因素決定了我們工作的積極性，一個是基礎(chǔ)因素，一個是動力因素。金錢收入只是基礎(chǔ)因素，而動力因素則包括挑戰(zhàn)性，獲得認(rèn)可感、責(zé)任感和個人成長等等。
大部分經(jīng)濟(jì)學(xué)家并不是說拉弗曲線的形狀不對，而是說，我們在 看待稅改的時候不能簡單用事 。現(xiàn)在，美國高收入的稅率遠(yuǎn)比20世紀(jì)絕大部分時間要低得多，也就是說，幾乎沒有經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為美國現(xiàn)在正處在拉弗曲線的下行區(qū)域。
如果 簡單地評估一下特朗普減稅的效應(yīng) 的話，特朗普減稅對美國經(jīng)濟(jì)的影響未必像有一些朋友想象的那么大。第一， 特朗普減稅并不是發(fā)生在美國經(jīng)濟(jì)處在相對低迷的時期 。經(jīng)濟(jì)學(xué)告訴我們，只有在經(jīng)濟(jì)低迷的時候，減稅對經(jīng)濟(jì)增長的刺激作用才更加明顯；第二， 特朗普的減稅明顯帶有“劫貧濟(jì)富”的色彩 。這會加劇美國的貧富差距，使得本來已經(jīng)撕裂的美國社會更加分化；第三， 如果在減稅的同時沒有減少政府的支出，很可能會導(dǎo)致美國的債務(wù)壓力越來越大。
但是美國通過減稅來讓跨國公司的海外利潤回流， 資本外流的壓力、人民幣重回貶值通道、被動減稅的壓力、資產(chǎn)價格泡沫可能面臨的被動萎縮，留給我們中國“獨善其身”的時間還有多久呢？ 這一次先不講太多，等到后面關(guān)于“大國博弈”的讀書模塊，再來細(xì)說（容我先充充電再分享，捂臉hhh）
某一天，你突然接到一位來自巴爾的摩的股票經(jīng)紀(jì)人的郵件，推薦了一只承諾一周后會漲的股票，你沒有理睬，之后的十周里，他每周都推薦一只新的股票，而你驚喜地發(fā)現(xiàn)他預(yù)測的股票居然全都漲了，那么第十一周，你會選擇購買他的股票嗎？這就是非常著名的 “巴爾的摩股票經(jīng)紀(jì)人” 的故事。然而，你或許會覺得神奇，甚至是奇跡的事情，巴爾的摩股票經(jīng)紀(jì)人連續(xù)十次猜對股票的漲跌，卻是一場背后隱藏著概率的。知道了方法，股市白癡也很容易就能實現(xiàn)，因為收件的對象不止一個。只需要在第一周發(fā)出10240份郵件，一半收件人的郵件預(yù)測這只股票漲，另一半做相反預(yù)測；下一周，后一種收件人就不會收到郵件了，余下的5120人分兩批繼續(xù)收到對半分的不同預(yù)測郵件，以此類推到了第十周，只剩下10個人會連續(xù)收到十周預(yù)測準(zhǔn)確的郵件，你猜他們會怎么想呢？所以我們在做數(shù)學(xué)推理的時候要以這個故事為戒： 面對大數(shù)據(jù)的分析必須小心翼翼，二次方程的根可能不止一個，同一個觀察結(jié)果有可能產(chǎn)生多種理論，讓我們誤入歧途的不是事情的真?zhèn)危峭评淼臅r候漏掉了某種假設(shè)。
“推理”這一章還提到了 “零假設(shè)”和“顯著性檢驗” 兩個非常有意思的概念。
零假設(shè)是假設(shè)毫無效果，或假設(shè)絲毫不起作用，或是假設(shè)沒有任何相關(guān)關(guān)系。我們在做研究的時候，要從零假設(shè)開始，然后通過做實驗，或是搜集數(shù)據(jù)，看看能不能推翻零假設(shè)。 怎么推翻零假設(shè)呢？這要用到顯著性檢驗， 顯著性檢驗其實是一種模糊的歸謬法。
歸謬法 的思路是，為了證明某個命題不正確，我們先假設(shè)該命題是真的，然后，我們看看能不能推導(dǎo)出來什么結(jié)論，如果這個結(jié)論明顯是錯誤的，那么，該假設(shè)就是假的命題。也就是說，我們 先假定假設(shè)H為真，根據(jù)H，某個事實F不成立，但是，F(xiàn)是成立的，因此，H不成立。 然而在大多數(shù)研究中，我們 不可能如此斬釘截鐵地得出結(jié)論 ，所以顯著性檢驗出現(xiàn)了。
我們先假定假設(shè)H為真，根據(jù)H得到某個結(jié)果為O的可能性應(yīng)該非常小，但是，很不幸，我們看到事件O發(fā)生了，因此，H成立的可能性非常地小。 比如，我們假定S先生是工作積極認(rèn)真的，如果他工作是積極認(rèn)真的，那么，在工作時間發(fā)現(xiàn)他打王者榮耀的概率就會很小，可是，我們卻發(fā)現(xiàn)，此人確實曾有過該開重要的會議了，他還在打王者榮耀，那這說明什么？說明我們原來的假設(shè)，也就是說，他工作積極認(rèn)真的假設(shè)很可能是錯的。
所以顯著性檢驗可以分成 四步 ：
1、開始實驗；2、假定零假設(shè)成立；3、觀察實驗結(jié)果中出現(xiàn)事件O的概率，我們把這個概率稱為P值。P值反映的是零假設(shè)成立的可能性；4、如果P值很小，我們就認(rèn)為實驗結(jié)果滿足零假設(shè)的可能性很小，你可以通過這種歸謬法判斷，你原來想檢驗的猜想具有統(tǒng)計學(xué)上的顯著性。如果P值很大，我們就得承認(rèn)零假設(shè)還沒有被推翻。
當(dāng)然， 顯著性檢驗也有潛在的陷阱需要注意 ：
1、P值多小才是顯著的呢？在 顯著性與非顯著性之間并沒有一條涇渭分明的界限 。
2、 我們不能假設(shè)一種因素一定會有影響力。如果我們太想得出有影響力的結(jié)論，就可能會操縱實驗。
3、 不要誤解“顯著性” 。很多科學(xué)術(shù)語都有誤導(dǎo)，顯著性這個詞就是典型的例子， 要分清作用“顯著”和“有效”的區(qū)別 （論文寫作要點get√）。
研究表明，身材高的父母生出身材高的孩子的概率不是百分之百。實際上，父母和孩子的身高是受到回歸效應(yīng)影響的。 在時間縱軸上受影響、具有隨機(jī)性的事物，無不遵循這一規(guī)律。只要數(shù)據(jù)足夠大， 人類的身高或者智商， 都有趨于平均值的回歸性 ，這就是我們熟悉的 “大數(shù)定律” 。舉個栗子，大型醫(yī)院里每年同一性別嬰兒的出生率會比小型醫(yī)院的更接近50%，你覺得呢？
“少數(shù)服從多數(shù)” 原則簡單明了，看似公平，但也 僅在涉及兩種觀點時才能取得最佳效果 ， 只要觀點多于兩種，眾口難調(diào)，大多數(shù)人的喜好就會有自相矛盾的地方 。所以可以這樣說， 民意是根本不存在的東西 ，更準(zhǔn)確地講， 只有在大多數(shù)人意見一致時民意才會存在。 如果按照邏輯辦事，就經(jīng)常需要違背大多數(shù)人的意見，對于政治家來說，對不一致的民意進(jìn)行合理運用才是職責(zé)所在，只需讓大部分人滿意就可以了。
彩票的購買價值和獲獎價值是不同的，購買價值是你購買一張彩票所用的金額，而 獲獎價值是引入概率論之后彩票的真正價值 ，我們可以用 期望值 來表達(dá)。一個彩票的期望值只有在低于購買價值的時候才是不值得購買的，如果高于購買價值，當(dāng)你的購買量達(dá)到一定數(shù)量的時候，彩票是值得購買的。
數(shù)學(xué)思維其實是我們的一種本能，與語言其實是同宗同源的 。我們的祖先曾經(jīng)生活在樹上，經(jīng)常需要在樹枝間跳來跳去，他們需要很好的三維空間意識。當(dāng)他們到了開闊的草原上，需要判斷距離的遠(yuǎn)近，這就要求有二維空間意識。隨著他們的生存環(huán)境變得越來越復(fù)雜，我們的祖先開始具有判斷因果關(guān)系的意識。但是，為什么自然而然出現(xiàn)的數(shù)學(xué)思維，最終并沒有固化到我們的日常思維中呢？為什么我們大部分人還是覺得數(shù)學(xué)太難了呢？這里的關(guān)鍵是 抽象 。
抽象是數(shù)學(xué)的箱中最具有威力的。只要有機(jī)會，數(shù)學(xué)家就會嘗試抽象。到最后，他們就會徹底忘掉真實世界，專注于抽象的定義和概念。 所以作者才會說，孩子們開始放棄對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有兩個時刻，一是接觸到分?jǐn)?shù)的時刻，一是學(xué)習(xí)代數(shù)的時候，是兩次階躍性的抽象過程。 抽象可以分為四個層次，“眼見為實”、“想到為實”、“眼見為虛”、“想到為虛”。 最后一種， “想到為虛”才是數(shù)學(xué)思維的層次。數(shù)學(xué)對象是全然抽象的，它們同現(xiàn)實世界沒有簡單或者是直接的聯(lián)系。數(shù)學(xué)，是一種在抽象之上再抽象的層次 ，比如我們最早在加減法接觸到交換律和結(jié)合律，延伸到乘法，再到幾何，再到函數(shù)、集合、矩陣，如果學(xué)的數(shù)學(xué)系，還會考慮在什么時候下，群能滿足交換律。 數(shù)學(xué)的本質(zhì)是一以貫之的，它就是一種關(guān)于模式的科學(xué)，有的模式相對簡單，有的模式相對復(fù)雜，復(fù)雜的模式不過是模式的模式，甚至是模式的模式的模式 ，于是，我們就開始糊涂了。 我們可以把數(shù)學(xué)設(shè)想為一個由樂高積木搭成的雄偉建筑。盡管看起來非常復(fù)雜，但如果仔細(xì)去看，你會發(fā)現(xiàn)它是由一個一個簡單的模塊拼裝起來的。數(shù)學(xué)的本質(zhì)思想就是簡單的東西是復(fù)雜的，而復(fù)雜的東西其實是簡單的。 這就回到這本書的主題了，我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)簡單而深奧的數(shù)學(xué)知識。
看過 “拉弗曲線” ，就能理解稅率與政府之間的關(guān)系；知道 “線性中心主義” ，才清楚 “按比例換算” 原來那么荒謬； “大數(shù)定律” 就是那只不講情面的、無法抗拒的手； “比盤子還大的餅狀圖” 反映了“真實但是不準(zhǔn)確”的數(shù)字錯位……這些數(shù)學(xué)常識告誡我們，必須要注意數(shù)學(xué)出現(xiàn)的場合，離開了附著的情境，數(shù)學(xué)就會成為有心人的，政治選票、市場數(shù)據(jù)、盈利報告，這種那種，它們往往用繁瑣的、累疊的數(shù)字來包裹，能夠破解它們的就是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)出的洞察力，這就是作者想要告訴我們的。
以上。
數(shù)學(xué)一直是我上學(xué)時代的最愛，步入社會后發(fā)現(xiàn)沒有好像沒有啥作用，但是讀了魔鬼數(shù)學(xué)后，改變了我的想法。全書從線性、推理、期望值、回歸和存在五個方面環(huán)環(huán)相扣，逐步深入，妙趣橫生的指引我們收服數(shù)學(xué)這頭折磨我們的“魔鬼”。
首先是克服畏難心理。這頭“魔鬼”并不會打你、咬你，要好好看清它的長相，了解它的功用，這樣一來，你便清楚只要學(xué)會它的語言，就可以命令它給你服務(wù)。雖然很多人覺得數(shù)學(xué)的符號體系和抽象性讓人難以理解，但這一堆高度抽象化的符號，與我們平時的思維并沒有什么不同。
其次就需要建立數(shù)學(xué)和現(xiàn)實生活經(jīng)驗的聯(lián)系。要解決這個問題，就不能滿足于在課堂內(nèi)的學(xué)習(xí)，還要增謹(jǐn)核嫌進(jìn)閱讀量，了解科技的前沿發(fā)展，并積極思考，力圖用已掌握的數(shù)學(xué)知識來解釋現(xiàn)實中遇到的問題，假如，我們在玩押大小、贏籌碼的游戲。已經(jīng)連續(xù)7次都是大局，那么第8次出現(xiàn)大的幾率是否會更大呢？直覺向我們傳遞的信息是，連續(xù)多次大，那么下一次出現(xiàn)大的幾率就高。然而數(shù)學(xué)告訴我祥手們，每次開局，出現(xiàn)大小的幾率都是相同的氏塌。前一句如何并不會影響后續(xù)的結(jié)局。如果不能清醒的認(rèn)識隨機(jī)性原理，不信邪的賭徒，或許會因為連續(xù)的非理性決策而損失慘重。
像這種導(dǎo)致人們作出非理性判斷的直覺還有很多，就像很多人會覺得越有錢就會越快樂，然而，當(dāng)收入超過生活成本一定程度的時候，人們所獲得的滿足感（快樂）是遞減的，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中叫邊際效用遞減，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，最簡單的解釋為“非線性思維”。“非線性思維表明，正確的前進(jìn)方向取決于你所在的位置”。相比較而言，越有錢越快樂就是典型的線性思維，即是指兩個變量之間的變化是恒定的，這絕對是種一勞永逸的懶人思維。
數(shù)學(xué)是一種人類的認(rèn)知方式和，它可以讓我們更好地思考，它可以磨煉我們的直覺，讓我們的判斷更敏銳；它還可以馴服不確定性，讓我們更深入的了解世界的結(jié)構(gòu)和邏輯。擁有了數(shù)學(xué)，我們就可以把那些我們想當(dāng)然的事情看得更透徹，從而做出正確的決策。
