目錄高中圓錐曲線題型及解題方法 圓錐曲線解題18種方法 圓錐曲線題型歸納及解題技巧 高中數學圓錐曲線情境題 高中數學圓錐曲線題型及歸納
1、數列問題
（1)熟練掌握等差、等比數列的性質、通項公式和求和公式；
（2)深刻理解課本上等差和等比數列求和公式是怎么推導出來的，其中蘊含的如“倒序相加”等解題思想是解題中經常用喊御到的；
（3)熟練掌握將分母代數式連乘的分數轉化成單項分式差，實現“消去中間，剩下兩頭”的題型；
（4)熟練掌握從現有數列（如{An})中抽取滿足某個條件的若干項,組成一個新數列(如{Ank}），然后求新數列的通項和前多少項和的題型；
（5)熟練掌握通過化簡或待定系數法，將不規則數列“湊”成等差或等比數列來解題的題型；
（6)熟練掌握數學歸納法的原理并應用它解決個別“先猜測再證明”的探究類題型。
（7)熟練掌握數列求極限的題型，尤其是通過化簡讓分母的指數比分子的指數高，以便n無窮大的時候分式等于0
2、圓錐曲線問題
（1)熟練掌握圓錐曲線的幾何定義和準線定義，深刻理解“數形結合”的思想，這是解析幾何的靈棚歷魂和精髓：用代數思想研究幾何問題，實現定量求解；
（2)熟練運用圓錐曲線（橢圓、雙曲線和拋物線）的普通方程求解線段、點到線的距離和兩條線的夾角等問題；
（3)熟練運用圓錐曲線的參數方程輔助解題，尤其是橢圓和雙曲線的參數方程跟三角函數結合非常緊密，而且三角函數的有界性又跟不等式求最大最小值關系密切。
（4)由于平面解析幾何解決的是平面內的問題，如果在求解立體幾何中的問題中，我們能確證點到面的距離或二面角可以在某個平面內解決，但從純幾何角度不容易記計算，這時候我們可以在立體圖的某個面建立坐標系，把立體幾何中的問題轉化成平面解析幾何的問題（點到線的距離，線的夾角）來求解，有時候這樣效果很好。
順便說一下，下面幾個“數學思想”在平時考試和高考中尤為重要：
（1)方程的思想：從形式上變未知為已知，然后找出關系，求出這個形式上的已知得解；
（2)不等式的思鄭和巖想：利用不等式進行放大和縮小來判斷變量或表達式的極限，求解最大、最小值；
（3)函數的思想：把現實問題抽象成代數問題，根據變量的范圍動態考察函數規律的變化規律；
（4)數形結合的思想：充分利用圖像的直觀、形象性輔助分析和計算；
（5)分類討論的思想：體現理性思維的嚴密性，具體情況具體分析。
（6)反證法的思想：逆向思維，從相反的角度看問題；
（7)數學歸納思想：根據有限的數據試圖探尋總體的規律，然后用歸納法驗證猜測的正確性。
1、牢記核心知識
核心的知識點是基礎，好多同學在做圓錐曲線題時，特別是小題，比如橢圓，雙曲線離心率公式和范圍記不清，焦點分別在x軸，y軸上的雙曲線的漸近線方程也傻傻分不清，在做題時自然做不對。
2、計算能力與速度
計算能力強的同學學圓錐曲線相對輕松一些，計算能力是可以通過多做題來提敏大升的。后期可以嘗試訓練自己口算得到聯立后的二次方程，然后得到判別式，兩根之和，兩根之積的整式。
當然也要掌握一些解題的小技巧，加快運算速度。
3、思維套路
拿到圓錐曲線的題，很多同學說無從下手，從表面感覺很難。老師建議：山重水復疑無路，沒事你就算兩步。大部分的圓錐曲線大題，都有共同的三部曲：一設二聯立三韋達定理。
一設：設直線與圓錐曲線
的兩個交點，坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），直線方程為y=kx+b。
二聯立：通過快速計算或者口算得到聯立的二次方程。
三韋達定理：得到二次方程后立馬得出判別式，兩根之和，兩根之積。
走完三部曲之后，在看題目給出了什么條件，要求什么。例如涉及弦長問題，常用“根與系數的關系”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦的中點問題，常用“點差法”設粗春而不求，將弦所在直線的
斜率、弦的中點坐標聯巖拿耐系起來，相互轉化．總結起來：找值列等量關系，找范圍列不等關系，通常結合判別式，基本不等式求解。
4、圓錐曲線解題方法技巧歸納
導語：定義中提到的定點，稱為圓錐曲線的焦點；定直線稱為圓錐曲線的準線；固定的常數（即圓錐曲線上一點到焦點與準線的距離比值）稱為圓錐曲線的離心率；焦點到準線的距離稱為焦準距；焦點到曲線上一點的線段稱為焦半徑。過焦點、平行于準線的直線與圓錐曲線相交于兩點，此兩點間的線段稱為圓錐曲線的通徑，物理學中又稱為正焦弦。
第一、圓錐曲線的解題方法：
一、求圓錐曲線方程
（1）軌跡法：設點建立方程，化簡證明求得。
例題：動點P（x，y）到定點A（3，0）的距離比它到定直線x=—5的距離少2。求動點P的軌跡方程。
解析：依題意可知，{C}，由題設知{C}，{C}{C}。
（2）定義法：根據圓錐曲線的定義確定曲線的形狀。
上述例題同樣可以由定義行判棗法求出曲線方程：作直線x=—3，則點P到定點A與到定直線x=—3的距離相等，所以點P的軌跡是以A為焦點，以x=—3為準線的拋物線。
（3）待定系數法：通過題設條件構造關系式，待定參數即可。
例1：已知點（—2，3）與拋物線{C}的焦點的距離是5，則P=_____。
解析：拋物線{C}的焦點為{C}，由兩點間距離公式解得P=4。
例2：設橢圓{C}的右焦點與拋物線{C}的焦點相同，離心率為{C}，則橢圓的方程為_____。
解析：拋物線{C}的焦點坐標為（2，0），所以橢圓焦半徑為2，故離心率{C}得m=4，而{C}，所以橢圓方程為{C}。
二、圓錐曲線最值問題
（1）化為求二次函數的最值
根據已知條件求出一個參數表示的二次函數解析式，用配方法求出在一定范圍自變量下函數的最值。
例題：曲邊梯形由曲線{C}及直線x=1，x=2所圍成，那么通過曲線上哪一點作切線，能使此切線從曲邊梯形上切出一個最大面積的普通梯形。
解析：設切點{C}，求出切線方程{C}，再求出這條切線與直線x=1，x=2的交點縱坐標，根據梯形面積公式列出函數關系式：梯形面積={C}，從而得出結論。
（2）利用圓錐曲線性質求最值
先利用圓錐曲線的定義性質列出關系式，再用幾何或代數方法求最值。
例題：已知雙曲線{C}的右焦點為F，有一點A（9，2）。試在雙曲線上求一點M，使{C}的值最小。
解析：設點M到對應準線的距離為d，由雙曲線的第二定義有d={C}，{C}》點A到點M對應準線的距離{C}（點A在對應準線上的投影為點A’）檔拆。所以當且僅當點M為AA’與雙曲線右支的交點時，{C}的值最小。
（3）化為一元二次方程，用根的判別式求最值
將最值問題轉化為含有一個未知量的一元二次方程，利用根的判別式求未知量范圍求解。
例題：直線y=x+9，橢圓C焦點為F1（—3，0），F2（3，0），求與直線有公共點M的橢圓中最短長軸。
解析：直線與橢圓有公共點，根據題意可聯立方程組{C}
{C}，
由條件得{C}，所以橢圓的最短長軸為{C}。
（4）利用不等式求最值
列出最值滿足的關系式，利用平均值不等式中等號成立的條件求最值。在使用平均值不等式求最值時要滿足三個條件：①每一項都要取正值；②不等式的一邊為常數；③等號能夠成立。
例沖游題：定長為3的線段AB的兩個端點在拋物線{C}上移動，M為AB的中點，則M到y軸的最短距離。
解析：設點A{C}，點B{C}，{C}，
{C}，當且僅當{C}時取得最小值。所以{C}，點M到y軸距離最小值為{C}。
三、直線與圓錐曲線位置關系問題
直線與圓錐曲線的位置關系的基本方法是解方程組，進而轉化為一元二次方程后利用判
別式、根與系數的關系、求根公式等來處理，應特別注意數形結合的思想，通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結合三大曲線的定義去解。
例題1：過點（2，4）作直線與拋物線{C}只有一個公共點，這樣的直線有____條。
解析：由于點（2，4）在拋物線上，其次只有一個公共點，包括直線平行于拋物線的對稱軸，和拋物線交于一點的直線，故有2條。
例題2：直線y=kx+1與橢圓{C}恒有公共點，則m的取值范圍是_____。
解析：直線與橢圓恒有公共點，所以聯立方程{C}恒成立，即{C}恒成立，所以{C}且{C}。
四、求參數的取值范圍
與圓錐曲線有關的參數范圍問題常用兩種解法：
（1）不等式（組）求解法：利用題意結合圖形列出所討論的參數適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數的變化范圍。
（2）函數值域求解法：把所討論的參數作為一個函數、一個適當的參數作為自變量來表示這個函數，通過討論函數的值域求參數的變化范圍。
例題：已知點A（2，0）和拋物線{C}上兩點B、C，使得AB⊥BC，求點C縱坐標的取值范圍。
解析：由于B、C是拋物線上兩個相關的點，所以可通過B點縱坐標的'范圍建立關于C點縱坐標的不等式求解。設點B{C}，點C{C}，{C}，{C}，
{C}，{C}，{C}，{C}，{C}。
解得{C}或{C}。
五、動點軌跡方程
（1）直接法：直接利用條件建立x，y之間的關系{C}；
如：已知動點P到定點F（1，0）和直線x=3的距離之和等于4，求P點的軌跡方程。根據題意直接列式：{C}。
（2）待定系數法：已知所有曲線的類型，根據條件設出所求曲線的方程，再由已知條件確定其待定系數。
如：線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0）（m>0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，求此拋物線的方程。
（3）定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程。
（4）代入轉移法：動點{C}依賴于另一動點{C}的變化為變化，并且{C}又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數式表示{C}，再將{C}代入已知曲線求得軌跡方程。
（5）參數法：當動點{C}坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將x，y均用一中間變量（參數）表示，得到參數方程，再消去參數得軌跡方程。
六、定點定值問題
在幾何問題中，有些幾何量和參數無關，從而構成定值問題，解決這類問題長用取參數和特殊值來確定定值的多少，或將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角式，證明該式是恒定的。這類問題通常有兩種出來方法：
（1）從特殊入手，求含變量定點定值，再證明這個定點定值與變量無關。
（2）直接推理、計算，并在計算的過程中消去變量，從而得到定點定值。
例題：過拋物線{C}的焦點F作直線l交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p，q，則{C}的值必等于_____。
解析：
①令直線與x軸垂直，則直線l：{C} {C}，{C}。
②設{C}，{C}且PM，QN分別垂直于準線于M，N。
{C}，{C}，{C}的焦點{C}，準線{C}，所以直線l：{C}，又因為直線l與拋物線相交，故聯立方程組得：{C}，{C}，{C}
{C}，{C}，{C}。
第二、圓錐曲線的七種題型歸納：
（1）中點弦問題
（2）焦點三角形問題
（3）直線與圓錐曲線位置關系問題
（4）圓錐曲線的有關最值（范圍）問題
（5）求曲線的方程問題
（6）存在兩點關于直線對稱問題
（7）兩線段垂直問題
第三、 圓錐曲線的八大解題方法：
1、定義法
2、韋達定理法
3、設而不求點差法
4、弦長公式法
5、數形結合法
6、參數法（點參數、K參數、角參數）
7、代入法中的順序
8、充分利用曲線系方程法
【數學圓錐曲線解題技巧】
1.客觀題部分
例1 (新課標2·2015)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( )。
A。5 B。2 C。3 D。2
解析 該題的核心知識點有兩個：等腰三角形的性質;雙曲線的標準方程和性質。①將雙曲線方程設定為x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)，如圖;②因為AB=BM，∠ABM=120°，過點M作MN垂直于X軸，垂足為N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M點的坐標為(2a，3a)，③根據雙曲線方程、c2=a2+b2以及離心率e=ca(e>1)，可以求的c2=2a2，e=2，因此本題選D。本題涉及的基本思想方法是待定系數法。
2.主觀題部分
首先，是數形結合的思想方法，這種思想方法特點在于將圓錐曲線從平面的角度視為一種運動中的軌跡，在此背景下，題目的考核目標往往是與軌跡相關的邊緣域問題、定值問題、最值問題等。
例2 (山東·2015)平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x24a2+y24b2=1(a>b>0)的離心率為32，左、右焦點分別是F1和F2，以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上。
(Ⅰ)求橢圓C的方程。
(Ⅱ)設橢圓E;x24a2+y24b2=1，p為橢圓C上任意一點，過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A和B兩點，射線PO交橢圓E于點Q。
(ⅰ)求OQOP的值。
(ⅱ)求△ABQ面積的最大值。
解析 本題的核心知識點有：橢圓的定義;韋達定理與最值問題;橢圓與直線的位置關系問題。①根據橢圓的定義2a是定值，以及e=32，結合橢圓的標準方程求的a=2，b=1，因此橢圓的方程為C：x24+y2=1。②根據題意，設OQOP=λ，P(x0，y0)，則Q(-λx0，-λy0)。又x24a2+y24b2=1，所以將P和Q帶入方程解得，λ=2，所以OQOP=2。③根據題意設A(x1，y1)，B(x2，y2)。將y=kx+m帶入方程x216+y24=1得到(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0，根據韋達定理，由Δ>0，m2<4+16k2(Ⅰ);x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因為直線y=kx+m與軸焦點的坐標為(0，m)，所以△ABO的面積為S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2(Ⅱ)。由(Ⅰ)和(Ⅱ)可得，0與數形結合的思想方法相適應的題目類型有：圓錐曲線通過構造出的三角形關系，與直線、韋達定理、函數的最值問題等建立起邏輯關聯，依靠代數法或幾何法解題，其中涉及例如聯立方程法、整體消元法等解題技巧，強化計算能力，助力高考。
其次，是化歸、分類討論以及函數與方程的思想方法，將這幾種思想方法綜合起來看，它主要強調考生通過建立起圓錐曲線與方程之間的關聯，在簡化思想模稿培瞎型的基礎上，進行有效地推理與論證。建立在數形結合的基礎上，分類鎖定知識背景中的相關考點，化歸簡化思想路徑，最終用代數轉方程來表達圓錐曲線與關聯對象之間的相互關系(例題略)。
總 結鍵空
在對圓錐曲線問題的解答中，需要考生靈活運用相關知識，綜合性的考慮各種可行性方案與可能的因素，配合一定的解題技巧和計算能力給出答案。
【圓錐曲線公式大全】
1、橢圓的定義、橢圓的標準方程、橢圓的性質
2、判斷橢圓是 x型還是y型只要看x對應的分母大還是y2對應的分母大，若x對應的分母大則x型，若y2對應的分母大則y型.x2y2
3、求橢圓方程一般先判定橢圓是x型還是y型，若為x型則可設為2?2?1，若為yaby2x222
型則可設為2?2?1，若不知什么型且橢圓過兩點，則設為稀里糊涂型：mx?ny?1ab
4、雙曲線的定義、雙曲線的標準方程、橢圓的性質
2、判斷雙曲線是 x型中雀還是y型只要看x前的符號是正還是y前的符號是正，若x前的符號為正則x型，若y前的符號為正則y型，同樣的，哪個分母前的符號為正，則哪個分母就為a22x2y2
3、求雙曲線方程一般先判定雙曲線是x型還是y型，若為x型則可設為2?2?1，若aby2x2
為y型則可設為2?2?1，若不知什么型且雙曲線過兩點，則設為稀里糊涂型：abmx2?ny2?1(mn?0)
6、若已知雙曲線一點坐標和漸近線方程y?mx，則可設雙曲線方程為y2?m2x2??(??0)，而后把點坐標代入求解
7、橢圓、雙曲線、拋物線與直線l:y?kx?b的弦長公式：AB?? 8、橢圓、雙曲線、拋物線與直線問題出現弦的中點往往考慮用點差法
9、橢圓、雙曲線、拋物線與直線問題的解題步驟：
(1)假化成整(把分式型的橢圓方程化為整式型的橢圓方程)，聯立消y或x
(2)求出判別式，并設點使用偉大定理
(3)使用弦長公式
1、拋物線的定義：平面內有一定點F及一定直線l (F不在l上)P點是該平面內一動點，當且僅當點P到F的距離與點P到直線l距離相等時，那么P的軌跡是以F為焦點，l為準線的一條拋物線.————見距離想定義!!!
2、(1)拋物線標準方程左邊一定是x或y的平方(系數為1)，右邊一定是關于x和y的一次項，如果拋物線方程不標準，立即化為標準方程!
(2)拋物線的一次項為x即為x型，一次項為y即為y型!
(3)拋物線的焦點坐標為一次項系數的四分之一，準線與焦點坐標互為相反數!一次項為x，則準線為”x=多少”， 一次項為y，則準線為”y=多少”!
(4)拋物線的開口看一次項的符號，一次項為正，則開口朝著正半軸，一次項為負，則開口朝著負半軸!
(5)拋物線的題目強烈建議畫圖，有圖有真相，無圖無真相!
23、求拋物線方程，如果只知x型，則設它為y?ax (a?0),a>o,開口朝右;a<0,開口朝左;2如果只知y型，則設它為x?ay(a?0),a>o,開口朝上;a<0,開口朝下。
4、拋物線簡單的幾何性質：
(尤其對稱性的性質要認真研究應用，經常由線對稱挖掘出點對稱，從而推出垂直平分等潛在條件!)
1、 拋物線的焦點弦，設P(x1,y1),Q(x2,y2)，且P,Q為拋物線y2?2px經過焦點的一條弦：p2
(1)P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點坐標的關系：y1y2??p,x1x2? 42
(2)焦點弦長公式：PQ?(x1?x2)?p=2p(其中?為直線PQ的傾斜角大小) 2sin?
(3)垂直于對稱軸的焦點弦稱為是通徑，通徑長為2p
5、(1)直線與橢圓一個交點，則直線與橢圓相切。
(2)直線與雙曲線一個交點，則考慮兩種情況：第一種是直線與雙曲線相切;第二種是直線與雙曲線的漸近線平行。
(3)直線與拋物線一個交點，則考慮兩種情況：第一種是直線與拋物線相切;第二種是直線與拋物線的對稱軸平行。
(4)直線與拋物線的位置關系，理論上由直線方程與拋物線方程的聯立方程組實解的情況來確定，實踐中往往歸納為對相關一元二次方程的判別式△的考察：直線與拋物線交于不同兩點??>0;直線與拋物線交于一點???0 (相切)或直線平行于拋物線的對稱軸; 直線與拋物線不相交???0
6、判斷點與拋物線、橢圓位置關系：先把方程化為標準式，而后把點代入，若大于，線外，等于線上，小于線內。
7、在研究直線與雙曲線，直線與橢圓，直線與拋物線位置關系時，若已知直線過一個點(x0,y0)時，往往設為點斜式：y?y0?k(x?x0)，但是尤其要注意討論斜率不存在的情況!!!斜率不存在則設為x?x0.
11、用點差法解決雙曲線的弦的中點問題，一定要記得把所求出的直線方程與雙曲線方程聯立消去y求出判別式，檢驗判別式如果小于0，則直線不存在!!!
1、 橢圓上的一點到橢圓焦點的最大距離為a?c，最小距離為a?c，橢圓上取得最大
距離和最小距離的點分別為橢圓長軸的兩個頂點。
2、 判斷過已知點的直線與拋物線一個交點直線條數：
(1) 若已知點在拋物線外，則過該點的直線與拋物線一個交點的直線有三條：相切兩條，與對稱軸平行一條。
(2) 若已知點在拋物線上，則過該點的直線與拋物線一個交點的直線有兩條：相切一條，與對稱軸平行一條。
(3) 若已知點在拋物線內，則過該點的直線與拋物線一個交點的直線有一條：相切0條，與對稱軸平行一條。
(1) 動點的軌跡方程。
3、 求點的軌跡的五個步驟：
(1) 建立直角坐標系(在不知點坐標的情況下)。
(2) 設點：求什么點的軌跡就只能把該點設為(x,y),不能設為其它形式的坐標!!!
(3) 根據直接法、代入法、定義法列出x和y的關系式。
(4) 化簡關系式。
(5) 看看題目有沒有什么限制條件，根據限制條件寫出x或y 的范圍!!!易錯!!!
7、過橢圓內部的一個點的直線必與橢圓相交，過雙曲線或拋物線內部的一個點的直線與雙曲線或拋物線至少有一個交點：與雙曲線的漸近線平行，一個交點;不平行，兩個交點;與拋物線的對稱軸平行，一個交點;不平行，兩個交點。
圓錐曲線一上來就考慮聯立方程組，算出判別式，寫出X1+X2，X1*X2，這樣就算你這蘆畝道題不會做，做到這兒一般能拿陪納森到6—8分，步驟分還要根據題的難易程茄慶度。你做題可以試試，保證屢試不爽。
