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北師大版初中數學定理知識點匯總八年級(上冊) 第一章 勾股定理 ※直角三角形兩直角邊的平和等于斜邊的平方。即： （由直角三角形得到邊的關系） 如果三角形的三邊長a，b，c滿足 ，那么這個三角形是直角三角形。 滿足條件 的三個正整數，稱為勾股數。常見的勾股數組有：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（這些勾股數組的倍數仍是勾股數） 第二章 實數 ※算術平方根：一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，族弊空那么正數x叫做a的算術平方根，記作 。0的算術平方根為0；從定義可知，只有當a≥0時,a才有算術平方根。 ※平方根：一般地，如果一個數x的平方根等于a，即x2=a，那么數x就叫做a的平方根。 ※正數有兩個平方根（一正一負）；0只有一個平方根，就是它本身；負數沒有平方根。 ※正數的立方根是正數；0的立方根是0；負數的立方根是負數。 第三章 圖形的平移與旋轉 平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定距離，這樣的圖形運動稱為平移。 平移的基本性質：經過平移，對應線段、對應角分別相等；對應點所連的線段平行且相等。 旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉。 這個定點叫旋轉中心，轉動的角度叫旋轉角。 旋轉的性質：旋轉后的圖形與原圖形的大小和形狀相同； 旋轉前后兩個圖形的對應點到旋轉中心的距離相等； 對應點到旋轉中心的連線所成的角度彼此相等。 （例：如圖所示，點D、E、F分別為點A、B、C的對應點，經過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。） 第四章 四平邊形性質探索 ※平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。 ※平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。 ※平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。 兩組對邊分別相等的四邊形是平行兆瞎四邊形。 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 ※平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。 菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 ※菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。 菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。 ※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 四條邊都相等的四邊形是菱形。 ※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。 ※矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸） ※矩形的判定：有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。 對角線相等的平行四邊形是矩形。 四個角都相等的四邊形是矩形。 ※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。 正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正卜孫方形。 ※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸） ※正方形常用的判定： 有一個內角是直角的菱形是正方形； 鄰邊相等的矩形是正方形； 對角線相等的菱形是正方形； 對角線互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖3所示)： ※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。 ※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。 ※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。 ※等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。 同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。 ※多邊形內角和：n邊形的內角和等于（n－2）·180° ※多邊形的外角和都等于360° ※在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180°，如果旋轉前后的圖形互相重合，那么這個圖開叫做中心對稱圖形。 ※中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段被對稱中心平分。 第五章 位置的確定 ※平面直角坐標系概念：在平面內，兩條互相垂直且有公
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第一章特殊平行四邊形
1.1菱形的性質與判定
菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
※菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。
菱形是軸對稱圖形賣謹，每條對角線所在的直線都是對稱軸。
※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
四條邊都相汪如等的四邊形是菱形。
1.2 矩形的性質與判定
※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。
※矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
※矩形的判定：有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。
對角線相等的平行四邊形是矩形。
四個角都相等的四邊形是矩形。
※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
1.3 正方形的性質與判定
正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
※正方形常用的判定：有一個內角是直角的菱形是正方形；
鄰邊相等的矩形是正方形；
對角線相等的菱形是正方形；
對角線互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖3所示)：
※梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
※兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線相等。
同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
※夾在兩條平行線間的平行線段相等。
※在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半
第二章一元二次方程
2.1認識一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程
2.3用公式法求解一元二次方程
2.4用因式分解法求解一元二次方程
2.5一元二次方程的跟與系數的關系
2.6應用一元二次方程
※只含有一個未知數的整式方程，且都可以化為 （a、b、c為
常數，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。
※把 （a、b、c為常數，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數；b為一次項系數；c為常數項。
※解一元二次方程的方法：①配方法 即將其變為 的形式>
②公式法（注意在找abc時須先把方程化為一般形式）
③分解因式法把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②將二次項系數化成1；
③把常數項移到方程的右邊；
④兩邊加上一次項系數的一半的平方；
⑤把方程轉化成 的形式；
⑥兩邊開方求其根。
※根與系數的關系：當b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數根；
當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
當b2-4ac<0時，方程無實數根。
※如果一元二次方程 的兩根分別為x1、x2，則有： 。
※一元二次方程的根與系數的關系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：
① ②③
④ ⑤
⑥ ⑦其他能用 或 表達的代數式。
（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構造一元二次方程：
（4）已知兩數x1、x2的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程的根
※在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數（在設未知數時，大多數情況只要設問題為x；但也有時也須根據已知條件及等量關系等諸多方面考慮）；②尋找等量關系（一般地，題目中會含有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程）。
※處理問題的過程可以進一步概括為：
第三章概率的進一步認識
3.1 用樹狀圖或表格求概率
3.2 用頻率估計概率
※在頻率分布表里，落困配啟在各小組內的數據的個數叫做頻數；
每一小組的頻數與數據總數的比值叫做這一小組的頻率； 即：
在頻率分布直方圖中，由于各個小長方形的面積等于相應各組的頻率，而各組頻率的和等于1。因此，各個小長方形的面積的和等于1。
※頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數據的頻率分布的兩種不同表示形式，前者準確，后者直觀。
用一件事件發生的頻率來估計這一件事件發生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復雜情況。
※假設布袋內有m個黑球，通過多次試驗，我們可以估計出布袋內隨機摸出一球，它為白球的概率；
※要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上100條魚做記號，再放回池塘，之后再從池塘中捉上200條魚，如果其中有10條魚是有標記的，再設池塘共有x條魚，則可依照 估算出魚的條數。（注意估算出來的數據不是確切的，所以應謂之“約是XX”）
※生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現象的數學模型，它能準確地衡量出事件發生的可能性的大小，并不表示一定會發生。
概率的求法：
（1）一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m個結果，那么事件A發生的概率為P（A）=
（2）、列表法
用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（3）樹狀圖法
通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法。
（當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法求概率。）
第四章 圖形的相似
4.1成正比線段
4.2平行線段成比例
4.3形似多邊形
4.4探索三角形相似的條件
4.5相似三角形判定定理的證明
4.6利用相似三角形測高
4.7相似三角形的性質
4.8圖形的位似
一. 線段的比
※1. 如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB, CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或寫成 .
※2. 四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即 ,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.
※3. 注意點:
①a:b=k,說明a是b的k倍;
②由于線段 a、b的長度都是正數,所以k是正數;
③比與所選線段的長度單位無關,求出時兩條線段的長度單位要一致;
④除了a=b之外,a:b≠b:a,與 互為倒數;
⑤比例的基本性質:若 , 則ad=bc; 若ad=bc, 則
二. 黃金分割
※1. 如圖1,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果 ,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比.
※2.黃金分割點是美、最令人賞心悅目的點.
四. 相似多邊形
¤1. 一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.
※2. 對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.
五. 相似三角形
※1. 在相似多邊形中,最為簡簡單的就是相似三角形.
※2. 對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等于1. 注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上.
※4. 相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比.
※5. 相似三角形周長的比等于相似比.
※6. 相似三角形面積的比等于相似比的平方.
六.探索三角形相似的條件
※1. 相似三角形的判定方法:
一般三角形 直角三角形
基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.
①兩角對應相等;
②兩邊對應成比例,且夾角相等;
③三邊對應成比例. ①一個銳角對應相等;
②兩條邊對應成比例:
a. 兩直角邊對應成比例;
b. 斜邊和一直角邊對應成比例.
※2. 平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.
如圖2, l1 // l2 // l3,則 .
※3. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似.
八. 相似的多邊形的性質
※相似多邊形的周長等于相似比;面積比等于相似比的平方.
九. 圖形的放大與縮小
※1. 如果兩個圖形不僅是相似圖形,而且每組對應點所在的直線都經過同一點,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形; 這個點叫做位似中心; 這時的相似比又稱為位似比.
※2. 位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比.
◎3. 位似變換:
①變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對應頂點的連線相交于一點,并且對應點到這一交點的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個交點叫做位似中心.
②一個圖形經過位似變換后得到另一個圖形,這兩個圖形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一個圖形放大或縮小.
第五章投影與視圖
5.1投影
5.2視圖
※三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。
三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。
主視圖：基本可認為從物體正面視得的圖象
俯視圖：基本可認為從物體上面視得的圖象
左視圖：基本可認為從物體左面視得的圖象
※視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面(平面或曲面)，而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面上。
※在一個外形線框內所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或曲面體）。
※在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。
物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影。
太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。
探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。
※區分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。
眼睛的位置稱為視點；由視點發出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區。
※從正面、上面、側面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。
①點在一個平面上的投影仍是一個點；
②線段在一個面上的投影可分為三種情況：
線段垂直于投影面時，投影為一點；
線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；
線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。
③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：
平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；
平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；
平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。
第六章反比例函數
6.1反比例函數
6.2反比例函數的圖像與性質
6.3反比例函數的應用
※反比例函數的概念：一般地， （k為常數，k≠0）叫做反比例函數，即y是x的反比例函數。 （x為自變量，y為因變量，其中x不能為零）
※反比例函數的等價形式：y是x的反比例函數 ←→ ←→ ←→ ←→ 變量y與x成反比例，比例系數為k.
※判斷兩個變量是否是反比例函數關系有兩種方法：①按照反比例函數的定義判斷；②看兩個變量的乘積是否為定值即 >。（通常第二種方法更適用）
※反比例函數的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線
※反比例函數的畫法的注意事項：①反比例函數的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的；
②選取的點越多畫的圖越準確；
③畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特征）。
※反比例函數性質：
①當k>0時，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個象限內，y隨x的增大而減小；
②當k<0時，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個象限內，y隨x的增大而增大；
③雙曲線的兩支會無限接近坐標軸（x軸和y軸），但不會與坐標軸相交。
※反比例函數圖象的幾何特征:(如圖4所示)
點P(x,y)在雙曲線上都有
http://txt.wenku.baidu.com/portal/subject/9_s1_g10_v2
只不過裂悉拍分肆羨章節
http://gbjc.bnup.com/eduresource.php?action=showcatalog&subjectid=2283&id=2316
或陸做者這里
1、某服裝商場將進價為30元的內衣，以50元售出，平均每月能售出300件。經過試銷發現每件內衣漲價10元，其銷售量就將減少10件。為了實現每天8700元的銷售利潤，假如你是銷售商，你將如何安排進貨？
解：設在59元基礎上漲價10a元，則少銷售10a件
根據題意
（50+10a-30）×（300-10a）=8700
（20+10a）×（30-a）=870
（a+2）（a-30）=-87
a2-28a+27=0
（a-1）（a-27）=0
a=1或a=27
a=1時，漲價10元，銷售300-10×1=290件
a=27時，漲價27×10=270元衡頌，銷售300-10×27=30件（此價格不符合實際）
屬于理論上算出
2、某公司生產某種商品，每件產品成本是3元，售價4元，年銷量10萬件，為了對應2009年全球性經濟危機，公司準備拿出一定資金做廣告，根據經驗，每年投入的廣告費是x（萬元時），產品的銷售量將是原來的y倍，且
y=-x2/10+7/10x+7/10若：年利潤=銷售總額－成本費－廣告費。
（1）公司的年利潤能達到15萬嗎?能達到16萬嗎?
(2)公司的年利潤能達到17萬嗎？如果能，請計算此時廣告應是多少萬元？如果不能;請說明理由。
解：設年利潤為a萬元，
a=4×10y-3×10y-x
=40y-30y-x=10y-x
=10×（-x2/10+7/10x+7/10）-x
=-x2+7x+7-x
=-x2+6x+7
a=15時
-x2+6x+7=15
x2-6x+8=0
（x-2）（x-4）=0
x=2或4
當廣告費是2萬元或4萬元時，利潤達到15萬元
當a=16時
-x2+6x+7=16
x2-6x+9=0
（x-3）2=0
x1=x2=3
當廣告費是3萬元時，利潤達到16萬元
當a=17時
-x2+6x+7=17
x2-6x+10=0
判別式=36-40=-4<0無解
所以利潤不能達到17萬
3、某一興趣小組有若干人，新年互送賀卡一張，已知全組共送賀卡132張，求這個小組人數。
解：設該小組有a人
根據題意
a×（a-1）=132
a2-a-132=0
（a-12）（a+11）=0
a=12或a=-11（舍去）
有12人，每個人接到12-1=11張賀卡
4、一項工程甲乙合作6天完成，已知甲單獨做比乙多5天，求甲乙單獨完成各需要多少天？
解：設乙單獨完成需要x天
6×1/x+6×1/（x+5）=1
6x+30+6x=x2+5x
x2-7x-30=0
（x-10）（x+3）=0
x=10或x=-3（舍去）
乙單獨完成需要10天
甲單獨完成需要10+5=15天
5、某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1，在溫室內，沿前側的內墻保留3M寬空地，其他三側內墻皮坦各保留1M寬的通道，當矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜燃攔桐種植區域的面積是288平方米？
解：設寬為a米，則長為2a米
根據題意
（2a-3-1）（a-1-1）=288
（2a-4）（a-2）=288
（a-2）2=144
a-2=±12
a=2±12
a=14或a=-10（不合題意，舍去）
所以寬為14米，長為28米時，蔬菜種植區域的面積是288平方米。
6、某村計劃修一條橫斷面為等腰梯形的水渠，橫斷面面積為10.5m2，上底比下底寬3m、比深多2m，問上底應挖多寬？
解：設上底為a米，則下底為a-3米，深為a-2米
根據題意
（a+a-3）×（a-2）/2=10.5
（2a-3）（a-2）=21
2a2-5a-15=0
（2a+3）（a-5）=0
a=5或者a=-2/3（不合題意，舍去）
所以上底為5米
7、某商店有一批襯衫出售，如果每件盈利40元，每天可售出20件，為了盡快減少庫存，增加盈利，商城決定降價出售，若每件襯衫每降價1元，則平均每天可多售出2件，問：每件襯衫降價多少元時，平均每天可盈利1200元？
解：設降價a元，那么多售出2a件
（40-a）×（20+2a）=1200
800-20a+80a-2a2=1200
a2-30a+200=0
（a-10）（a-20）=0
a=10或a=20
也就是說降價10元或20元都可以
8、某工廠第一季度平均每月增產率為x，一月份產值為a元，三月份產值變為1.21a，那么x的值為多少
解：設增產率為x
a（1+x）2=1.21a
（1+x）2=1.1
1+x=1.1或1+x=-1.1
x=0.1或-2.1不合題意，舍去
增長率=10%
