數(shù)的數(shù)學(xué)史？(4) 級(jí)數(shù)論上的成就：級(jí)數(shù)論在世界數(shù)學(xué)史上有著悠久的歷史，中算家所論述的在此中占有一定位子。由高階等差級(jí)數(shù)研究中發(fā)明了招差數(shù)、垛積數(shù)。(5) 縱橫圖說的研究：一些有名的縱橫圖（所謂方陣圖）已經(jīng)產(chǎn)生。那么，數(shù)的數(shù)學(xué)史？一起來了解一下吧。
學(xué)術(shù)界通常將數(shù)學(xué)發(fā)展劃分為以下四個(gè)時(shí)期：數(shù)學(xué)形成時(shí)期、初等數(shù)學(xué)時(shí)期、變量數(shù)學(xué)時(shí)期、近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期。
一、數(shù)學(xué)形成時(shí)期；萌芽時(shí)期是最初的數(shù)學(xué)知識(shí)積累時(shí)期，是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的漸變階段。這一時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)是零散的、初步的、非的，但是這是數(shù)學(xué)發(fā)展史的源頭，為數(shù)學(xué)后續(xù)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。
這是人類建立最基本的數(shù)學(xué)概念的時(shí)期。人類從數(shù)數(shù)開始逐漸建立了自然數(shù)的概念，簡(jiǎn)單的計(jì)算法，并認(rèn)識(shí)了最基本最簡(jiǎn)單的幾何形式，算術(shù)與幾何還沒有分開。
中國歷史悠久，發(fā)掘出來的大量石器、陶器、青銅器、龜甲以及獸骨上面的圖形和銘文表明: 幾何觀念遠(yuǎn)在舊石器時(shí)代就已經(jīng)在中國逐步形成。早在五六千年前，古中國就有了數(shù)學(xué)符號(hào)，到三千多年前的商朝，刻在甲骨或陶器上的數(shù)字已十分常見。
這時(shí)，自然數(shù)記數(shù)都采用了十進(jìn)位制。甲骨文中就有從一到十再到百、千、萬的十三個(gè)記數(shù)單位。這說明古中國也形成了數(shù)學(xué)的基本概念。
二、初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前600年至17世紀(jì)中葉）；初等數(shù)學(xué)時(shí)期從公元前五世紀(jì)到公元十七世紀(jì)，延續(xù)了兩千多年、由于高等數(shù)學(xué)的建立而結(jié)束。
這個(gè)時(shí)期最明顯的結(jié)果就是地創(chuàng)立了初等數(shù)學(xué)，也就是現(xiàn)在中小學(xué)課程中的算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何(平面幾何和立體幾何)和平面三角等內(nèi)容。
分?jǐn)?shù)分別產(chǎn)生于測(cè)量及計(jì)算過程中。在測(cè)量過程中，它是整體或一個(gè)單位的一部份；而在計(jì)算過程中，當(dāng)兩個(gè)數(shù)（整數(shù)）相除而除不盡的時(shí)候，便得到分?jǐn)?shù)。
一般可分為五期：
上古期：（2700B.C.~200B.C.）對(duì)數(shù)學(xué)有所創(chuàng)見的有伏羲氏、黃帝、隸首、綞等人。其成就歸納如下：
1. 結(jié)繩：最古的記數(shù)方法，傳為伏羲所創(chuàng)。
2. 書器：一種最古的記數(shù)，傳為隸首所創(chuàng)。
3. 河圖，洛書：相傳分別為伏羲、夏禹所作，是為最初的魔方陣。
4. 八卦：傳為周公所創(chuàng)，是最初的二進(jìn)制法。
5. 規(guī)矩：傳為伏羲或綞所創(chuàng)，用以作方圓，測(cè)量田地與勘測(cè)水道。
6. 幾何圖案：在金石陶器、石器時(shí)代的陶片、周秦時(shí)代的彝器已有簡(jiǎn)單 的幾何圖形出現(xiàn)，其種類不下數(shù)十種。
7. 九九：即個(gè)位數(shù)乘法表，傳為伏羲所創(chuàng)。古代數(shù)學(xué)家以九九之術(shù)作為初等數(shù)學(xué)的代表。
8. 技術(shù)方法：當(dāng)時(shí)是以累積之方法記數(shù)，已有百……億，兆等大數(shù)產(chǎn)生，都是以十進(jìn)制的；也已有分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生。當(dāng)時(shí)盛行的籌算，演變?yōu)楹髞淼闹樗阈g(shù)。
9. 算學(xué)教育：周朝時(shí)，把算數(shù)列為六藝之一，再小學(xué)時(shí)就受以珠算。
初等數(shù)學(xué)在此時(shí)期已有相當(dāng)基礎(chǔ)，算數(shù)與幾何由于人類實(shí)際生活的需要已初步形成，但并無形成一定邏輯關(guān)聯(lián)的。
數(shù)學(xué)發(fā)展具有階段性，因此研究者根據(jù)一定的原則把數(shù)學(xué)史分成若干時(shí)期。目前學(xué)術(shù)界通常將數(shù)學(xué)發(fā)展劃分為以下五個(gè)時(shí)期：
1．?dāng)?shù)學(xué)萌芽期（公元前600年以前）；
2．初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前600年至17世紀(jì)中葉）；
3．變量數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉至19世紀(jì)20年代）；
4．近代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代至第二次世界大戰(zhàn)）；
5．現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（20世紀(jì)40年代以來）。
中國古代數(shù)學(xué)的成就與衰落
數(shù)學(xué)在中國歷史久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是記錄數(shù)字的文字，包括從一至十，以及百、千、萬，最大的數(shù)字為三萬；司馬遷的史記提到大禹治水使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量，而且知道“勾三股四弦五”；據(jù)說《易經(jīng)》還包含組合數(shù)學(xué)與二進(jìn)制思想。2002年在湖南發(fā)掘的秦代古墓中，考古人員發(fā)現(xiàn)了距今大約2200多年的九九乘法表，與現(xiàn)代小學(xué)生使用的乘法口訣“小九九”十分相似。
算籌是中國古代的計(jì)算，它在春秋時(shí)期已經(jīng)很普遍；使用算籌進(jìn)行計(jì)算稱為籌算。中國古代數(shù)學(xué)的最大特點(diǎn)是建立在籌算基礎(chǔ)之上，這與西方及阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是明顯不同的。
但是，真正意義上的中國古代數(shù)學(xué)體系形成于自西漢至南北朝的三、四百年期間。《算數(shù)書》成書于西漢初年，是傳世的中國最早的數(shù)學(xué)專著，它是1984年由考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡(jiǎn)中發(fā)現(xiàn)的。《周髀算經(jīng)》編纂于西漢末年，它雖然是一本關(guān)于“蓋天說”的天文學(xué)著作，但是包括兩項(xiàng)數(shù)學(xué)成就——（1）勾股定理的特例或普遍形式（“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，并而開方除之，得邪至日。”——這是中國最早關(guān)于勾股定理的書面記載）；（2）測(cè)太陽高或遠(yuǎn)的“陳子測(cè)日法”。
無 理 數(shù) 的 發(fā) 現(xiàn) —— 第 一 次 數(shù) 學(xué) 危 機(jī)
大約公元前5世紀(jì),不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了畢達(dá)哥拉斯悖論.當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派重視自然及社會(huì)中不變因素的研究,把幾何、算術(shù)、天文、音樂稱為"四藝",在其中追求宇宙的和諧規(guī)律性.他們認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是證明了勾股定理,但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）的情形,如直角邊長(zhǎng)均為1的直角三角形就是如此.這一悖論直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條,導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上?quot;危機(jī)",從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).
到了公元前370年,這個(gè)矛盾被畢氏學(xué)派的歐多克斯通過給比例下新定義的方法解決了.他的處理不可通約量的方法,出現(xiàn)在歐幾里得《原本》第5卷中.歐多克斯和狄德金于1872年給出的無理數(shù)的解釋與現(xiàn)代解釋基本一致.今天中學(xué)幾何課本中對(duì)相似三角形的處理,仍然反映出由不可通約量而帶來的某些困難和微妙之處.第一次數(shù)學(xué)危機(jī)對(duì)古希臘的數(shù)學(xué)觀閿屑?蟪寤鰲U獗礱鰨?負(fù)窩У哪承┱胬磧胨閌蹺薰兀?負(fù)瘟坎荒芡耆?捌潯壤幢硎荊?純梢雜杉負(fù)瘟坷幢硎境隼矗?娜ㄍ?匚豢?.負(fù)窩У納矸萆?吡恕N；?脖礱鰨?本鹺途?椴灰歡?康米.評(píng)碇っ韃攀強(qiáng)煽康模?喲訟＠叭絲?賈厥友菀臚評(píng)恚?⒂紗私?⒘思負(fù)喂?硤逑擔(dān)?獠荒懿凰凳鞘?枷肷系囊淮尉藪蟾錈?
無 窮 小 是 零 嗎 —— 第 二 次 數(shù) 學(xué) 危 機(jī)
18世紀(jì),微分法和積分法在生產(chǎn)和實(shí)踐上都有了廣泛而成功的應(yīng)用,大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)這一理論的可靠性是毫不懷疑的.
1734年,英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》,矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無窮小的問題,提出了所謂貝克萊悖論.他指出："牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時(shí),采取了先給x以增量0,應(yīng)用二項(xiàng)式（x+0）n,從中減去xn以求得增量,并除以0以求出xn的增量與x的增量之比,然后又讓0消逝,這樣得出增量的最終比.這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)——先設(shè)x有增量,又令增量為零,也即假設(shè)x沒有增量."他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零,召之即來,揮之即去,這是荒謬,"dx為逝去量的靈魂".無窮小量究竟是不是零?無窮小及其分析是否合理?由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論.導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次數(shù)學(xué)危機(jī).
18世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想的確是不嚴(yán)密的,直觀的強(qiáng)調(diào)形式的計(jì)算而不管基礎(chǔ)的可靠.其中特別是：沒有清楚的無窮小概念,從而導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚,無窮大概念不清楚,以及發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性,符號(hào)的不嚴(yán)格使用,不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分,不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等.
直到19世紀(jì)20年代,一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ).從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始,到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束,中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì),基本上解決了矛盾,為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ).
悖 論 的 產(chǎn) 生 --- 第 三 次 數(shù) 學(xué) 危 機(jī)
數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī),是由1897年的突然沖擊而出現(xiàn)的,到現(xiàn)在,從整體來看,還沒有解決到令人滿意的程度.這次危機(jī)是由于在康托的一般集合理論的邊緣發(fā)現(xiàn)悖論造成的.由于集合概念已經(jīng)滲透到眾多的數(shù)學(xué)分支,并且實(shí)際上集合論成了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),因此集合論中悖論的發(fā)現(xiàn)自然地引起了對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性的懷疑.
1897年,福爾蒂揭示了集合論中的第一個(gè)悖論.兩年后,康托發(fā)現(xiàn)了很相似的悖論.1902年,羅素又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論,它除了涉及集合概念本身外不涉及別的概念.羅素悖論曾被以多種形式通俗化.其中最著名的是羅素于1919年給出的,它涉及到某村理發(fā)師的困境.理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉,并且,只給村里這樣的人刮臉.當(dāng)人們?cè)噲D回答下列疑問時(shí),就認(rèn)識(shí)到了這種情況的悖論性質(zhì)："理發(fā)師是否自己給自己刮臉?"如果他不給自己刮臉,那么他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉,那么他就不符合他的原則.
羅素悖論使整個(gè)數(shù)學(xué)大廈動(dòng)搖了.無怪乎弗雷格在收到羅素的信之后,在他剛要出版的《算術(shù)的基本法則》第2卷末尾寫道："一位科學(xué)家不會(huì)碰到比這更難堪的事情了,即在工作完成之時(shí),它的基礎(chǔ)垮掉了,當(dāng)本書等待印出的時(shí)候,羅素先生的一封信把我置于這種境地".于是終結(jié)了近12年的刻苦鉆研.
承認(rèn)無窮集合,承認(rèn)無窮基數(shù),就好像一切災(zāi)難都出來了,這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì).盡管悖論可以消除,矛盾可以解決,然而數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步地喪失.現(xiàn)代公理集合論的大堆公理,簡(jiǎn)直難說孰真孰假,可是又不能把它們都消除掉,它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的.所以,第三次危機(jī)表面上解決了,實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)著.
以上就是數(shù)的數(shù)學(xué)史的全部?jī)?nèi)容，數(shù)學(xué)形成時(shí)期，這是人類建立最基本的數(shù)學(xué)概念的時(shí)期。人類從數(shù)數(shù)開始逐漸建立了自然數(shù)的概念，簡(jiǎn)單的計(jì)算法，并認(rèn)識(shí)了最基本最簡(jiǎn)單的幾何形式，算術(shù)與幾何還沒有分開。幾何 第二時(shí)期編輯 初等數(shù)學(xué)，即常量數(shù)學(xué)時(shí)期。
