目錄解數(shù)系的發(fā)展 數(shù)系發(fā)展史 數(shù)系的發(fā)展歷程 數(shù)系的發(fā)展思維導(dǎo)圖 數(shù)集的發(fā)展史
若干年以前，人類的祖先為了生存，往往幾十人在一起，過(guò)著群居的生活。銀羨宴他們白天共同勞動(dòng)，搜捕野獸、飛禽或采集果薯食物；晚上住在洞穴里，共同享用勞動(dòng)所得。在長(zhǎng)期的共同勞動(dòng)和生活中，他們之間逐漸到了有些什么非說(shuō)不可的地步，于是產(chǎn)生了語(yǔ)言。他們能用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言?shī)A雜手勢(shì)，來(lái)表達(dá)感情和交流思想。隨著勞動(dòng)內(nèi)容的發(fā)展，他們的語(yǔ)言也不斷發(fā)展，終于超過(guò)了一切其他動(dòng)物的語(yǔ)言。其中的主要標(biāo)志之一，就是語(yǔ)言包含了算術(shù)的色彩
人類先是產(chǎn)生了“數(shù)”的朦朧概念。他們狩獵而歸，獵物或有或無(wú)，于是有了“有”與“無(wú)”兩個(gè)概念。連續(xù)幾天“無(wú)”獸可捕，就沒(méi)有肉吃了，“有”、“無(wú)”的概念便逐漸加深。
后來(lái)，群居發(fā)展為部落。部落由一些成員很少的家庭組成。所謂“有”，就分為“一”、“二”、“三”、“多”等四種（有的部落甚至連“三”也沒(méi)有）。任何大于“三”的數(shù)量，他們都理解為鋒銀“多”或者“一堆”、“一群”。有些酋長(zhǎng)雖是長(zhǎng)者，卻說(shuō)不出他捕獲過(guò)多少種野獸，看見(jiàn)過(guò)多少種樹(shù)，如果問(wèn)巫醫(yī)，巫醫(yī)就會(huì)編造一些詞匯來(lái)回答“多少種”的問(wèn)題，并煞有其事地吟誦出來(lái)。然而，不管怎樣，他們已經(jīng)可以用雙手說(shuō)清這樣的話（用一個(gè)指頭指鹿，三個(gè)指頭指箭）：“要換我一頭鹿．你得給我三枝箭。”這是他們當(dāng)時(shí)沒(méi)有的算術(shù)知識(shí)。
大約在1萬(wàn)年以前，冰河退卻了。一些從事游牧的石器時(shí)代的狩獵者在中東的山區(qū)內(nèi)，開(kāi)始了一種新的生活方式——農(nóng)耕生活。他們碰到了怎樣的記錄日期、季節(jié)，怎樣計(jì)算收藏谷物數(shù)、種子數(shù)等問(wèn)題。特別是在尼羅河谷、底格里斯河與幼發(fā)拉底河流域發(fā)展起更復(fù)雜的農(nóng)業(yè)社會(huì)時(shí)，他們還碰到交納租稅的問(wèn)題。這就要求數(shù)有名稱。而且計(jì)數(shù)必須更準(zhǔn)確些，只有“一”、“二”、“三”、“多”，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用了。
底格里斯河與幼發(fā)拉底河之間及兩河周?chē)?，叫做美索不達(dá)米亞，那兒產(chǎn)生過(guò)一種文化，與埃及文化一樣，也是世界上最古老的文化之一。美索不達(dá)米亞人和埃及人雖然相距很遠(yuǎn)，但卻以同樣的方式建立了最早的書(shū)寫(xiě)自然數(shù)的——在樹(shù)木或者石頭上刻痕劃印來(lái)記錄流逝的日子。盡管數(shù)的形狀不同，但又有共同之處，他們都是用單劃表示“一”。
后來(lái)（特別是以村寨定居后），他們逐漸以符號(hào)代替刻痕，即用1個(gè)符號(hào)表示1件東西，2個(gè)符號(hào)表示2件東西，依此類推，這種記數(shù)方法延續(xù)了很久。大約在5000年以前，埃及的祭司已在一種用蘆葦制成的草紙上書(shū)寫(xiě)數(shù)的符號(hào)，而美索不達(dá)米亞的祭司則是寫(xiě)在松軟的泥板上。他們除了仍用單劃表示“－”以外，還用其它符號(hào)表示“＋”或者更大的自然數(shù)；他們重復(fù)地使用這些單劃和符號(hào)，以表示所需要的數(shù)字。
公元前1500年，南美洲秘魯印加族（印第安人的一部分）習(xí)慣于“結(jié)繩記數(shù)”——每收進(jìn)一捆莊稼，就在繩子上打個(gè)結(jié)，用結(jié)的多少來(lái)記錄收成?！敖Y(jié)”與痕有一樣的作用，派行也是用來(lái)表示自然數(shù)的。根據(jù)我國(guó)古書(shū)《易經(jīng)》的記載，上古時(shí)期的中國(guó)人也是“結(jié)繩而治”，就是用在繩上打結(jié)的辦法來(lái)記事表數(shù)。后來(lái)又改為“書(shū)契”，即用刀在竹片或木頭上刻痕記數(shù)．用一劃代表“一”。直到今天，我們中國(guó)人還常用“正”字來(lái)記數(shù)．每一劃代表“一”。當(dāng)然，這個(gè)“正”字還包含著“逢五進(jìn)一”的意思。
數(shù)系理論的歷史發(fā)展表明，數(shù)的概念的每一次擴(kuò)張都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的進(jìn)步，但是這種進(jìn)步并不是按照數(shù)學(xué)教科書(shū)的邏輯步驟展開(kāi)的。希臘人關(guān)于無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)暴露出有理數(shù)系的缺陷，而實(shí)數(shù)系的完備性一直山孝要到19世紀(jì)才得以完成。負(fù)數(shù)早在《九章算術(shù)》中就已被中國(guó)數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí)，然而，15世紀(jì)的歐洲人仍然不愿意承認(rèn)負(fù)數(shù)的意義?！八脑獢?shù)”的發(fā)明，打開(kāi)了通向抽象代數(shù)的大門(mén)，逗首稿同時(shí)也宣告芹模在保持傳統(tǒng)運(yùn)算定律的意義下，復(fù)數(shù)是數(shù)系擴(kuò)張的終點(diǎn)。人類發(fā)明的記數(shù)法并沒(méi)有束縛自己的想象力，中國(guó)古代“數(shù)窮則變”的思想對(duì)于當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)仍具有積極的意義。關(guān)鍵詞：數(shù)系;記數(shù)法;實(shí)數(shù)理論;復(fù)數(shù)擴(kuò)張Abstract: The development of the number system through generation of the number concept is one of the instructive studies in the history of mathematics. The progresses of the number concepts did not match the logical steps that appeared in the textbooks. The irrational numbers, which originated in Greek geometry, exposed the fact that there are many “gaps” in the rational number system, but the perfect of the real number had not been proved until 19th century. In 15th century, the negative numbers were took as the kind absurd number, although its concepts and operation rules were completed by ancient Chinese mathematicians in the Nine Chapters of Arithmetic. From the integers to the complex numbers, the generalization of the number operations, the associative, commutative, and distributive laws of addition and multiplication remained unchanged. Further development of the number concept was brought about through changes in the fundamental postulates of algebra. Weierstrass proved the it is impossible to construct a class of numbers more general than the complex number if all the postulates are retained without change.Key words: numeral system;numeration;theory of real number;the expansion of complex number引 言數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數(shù)的概念的每一次擴(kuò)充都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。一個(gè)時(shí)代人們對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。今天，我們所應(yīng)用的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu)造的如此完備和縝密，以致于在科學(xué)技術(shù)和社會(huì)生活的一切領(lǐng)域中，它都成為基本的語(yǔ)言和不可或缺的。在我們得心應(yīng)手地享用這份人類文明的共同財(cái)富時(shí)，是否想到在數(shù)系形成和發(fā)展的歷史過(guò)程中，人類的智慧所經(jīng)歷的曲折和艱辛呢？一、 記數(shù)法、位置制和零人類在進(jìn)化的蒙昧?xí)r期，就具有了一種“識(shí)數(shù)”的才能，心理學(xué)家稱這種才能為“數(shù)覺(jué)”（perception of number）。動(dòng)物行為學(xué)家則認(rèn)為，這種“數(shù)覺(jué)”并非為人類所獨(dú)有。人類智慧的卓越之處在于他們發(fā)明了種種記數(shù)方法。《周易·系辭下》記載“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書(shū)契”。東漢鄭玄稱：“事大，大結(jié)其繩;事小，小結(jié)其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡”。以結(jié)繩和書(shū)契記數(shù)的方法實(shí)際上遍及世界各地，如希臘、波斯、羅馬、巴勒斯坦、 *** 和中美洲國(guó)家都有文獻(xiàn)記載和實(shí)物標(biāo)本。直到1826年，英國(guó)財(cái)政部才決定停止采用符契作為法定記數(shù)器。隨著人類社會(huì)的進(jìn)步，數(shù)的語(yǔ)言也在不斷發(fā)展和完善。數(shù)系發(fā)展的第一個(gè)里程碑出現(xiàn)了：位置制記數(shù)法。所謂位置制記數(shù)法，就是運(yùn)用少量的符號(hào)，通過(guò)它們不同個(gè)數(shù)的排列，以表示不同的數(shù)。引起歷史學(xué)家、數(shù)學(xué)史家興趣的是，在自然環(huán)境和社會(huì)條件影響下，不同的文明創(chuàng)造了迥然不同的記數(shù)方法。如巴比倫的楔形數(shù)字、埃及象形數(shù)字、希臘人字母數(shù)字、瑪雅數(shù)字、印度— *** 數(shù)字和中國(guó)的算籌記數(shù)。最早發(fā)展的一類數(shù)系應(yīng)該是簡(jiǎn)單分群數(shù)系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有實(shí)例，它是10進(jìn)的，但卻不是位置的。在公元前3000到2000年之間，巴比倫人發(fā)展了60進(jìn)位的定位數(shù)系（positional numeral system），它采用了位置制，卻不是10進(jìn)的。而最重要和最美妙的記數(shù)法則是10進(jìn)位位置制記數(shù)法。法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾經(jīng)寫(xiě)道：用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以致我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位;而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了。拉普拉斯的這段評(píng)論十分精彩，只可惜他張冠李戴，把這項(xiàng)發(fā)明歸之于印度。現(xiàn)已有充分而確鑿的史料證明，10進(jìn)位位置制記數(shù)法最先產(chǎn)生于中國(guó)。這一點(diǎn)也為西方的一些數(shù)學(xué)史家所主張。李約瑟就曾指出“在西方后來(lái)所習(xí)見(jiàn)的‘印度數(shù)字’的背后，位置制已在中國(guó)存在了兩千年?！辈贿^(guò)，10進(jìn)位位置制記數(shù)法的產(chǎn)生不能單純地歸結(jié)為天才的智慧。記數(shù)法的進(jìn)步是與計(jì)算的改進(jìn)相聯(lián)系的。研究表明，10進(jìn)位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國(guó)，是與算籌的使用與籌算制度的演進(jìn)分不開(kāi)的?！?”作為記數(shù)法中的空位，在位置制記數(shù)的文明中是不可缺少的。早期的巴比倫楔形文字和宋代以前的中國(guó)籌算記數(shù)法，都是留出空位而沒(méi)有符號(hào)。印度人起初也是用空位表示零，后來(lái)記成點(diǎn)號(hào)“· ”，最后發(fā)展為圈號(hào)。印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳入 *** 國(guó)家。13世紀(jì)初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci, 1175 - 1250）編著《算經(jīng)》（Liber Abacci,1202），把包括零號(hào)在內(nèi)完整的印度數(shù)碼介紹到了歐洲。印度數(shù)碼和10進(jìn)位位置制記數(shù)法被歐洲人普遍接受后，在歐洲的科學(xué)和文明的進(jìn)步中扮演了重要的角色。二、大數(shù)記法古代希臘人曾經(jīng)提出一個(gè)問(wèn)題：他們認(rèn)為世界上的沙子是無(wú)窮的，即使不是無(wú)窮，也沒(méi)有一個(gè)可以寫(xiě)出來(lái)的數(shù)超過(guò)沙子的數(shù)。阿基米德（Archimedes,BC287 - 212）的回答是：不。在《數(shù)沙術(shù)》中，阿基米德以萬(wàn)（myriad）為基礎(chǔ)，建立新的記數(shù)法，使得任何大的數(shù)都能表示出來(lái)。他的做法是：從1起到1億（原文是萬(wàn)萬(wàn)，myriad myriads, 這里按照中文的習(xí)慣改稱為億）叫做第1級(jí)數(shù);以億（108）為第2 級(jí)數(shù)的單位，從億到億億（108）2叫做第2級(jí)數(shù);在以億億為單位，直到億億億（108）3叫做第3級(jí)數(shù)。直到第1億級(jí)數(shù)的最后一數(shù)億億 .阿基米德算出充滿宇宙的沙子的數(shù)目不過(guò)是1051,即使擴(kuò)充到“恒星宇宙”，即以太陽(yáng)到恒星的距離為半徑的天球，也不過(guò)只能容納1063個(gè)沙粒！同樣的問(wèn)題也出現(xiàn)在中國(guó)古代。漢代以前，數(shù)皆10進(jìn)，以10萬(wàn)位億。韋昭解《國(guó)語(yǔ)·鄭語(yǔ)》第十六：“計(jì)億事，材兆物，收經(jīng)入，行垓極”。注稱“計(jì)，算也;材，裁也。賈唐說(shuō)皆以萬(wàn)萬(wàn)為億，鄭后司農(nóng)云：十萬(wàn)曰億，十億曰兆，從古數(shù)也?！薄稊?shù)術(shù)記遺》中則詳細(xì)記載了對(duì)大數(shù)的一整套命名和三種進(jìn)位方法。《數(shù)術(shù)記遺》稱：黃帝為法，數(shù)有十等，及其用也，乃有三焉。十等者億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載;三等者，謂上、中、下也。其下數(shù)者。十十變之，若言十萬(wàn)曰億，十億曰兆，十兆曰京也。中數(shù)者，萬(wàn)萬(wàn)變之，若言萬(wàn)萬(wàn)曰億、萬(wàn)萬(wàn)億曰兆，萬(wàn)萬(wàn)兆曰京。上數(shù)者，數(shù)窮則變，若言萬(wàn)萬(wàn)曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。從億至載，終于大衍?！稊?shù)術(shù)記遺》中的“大數(shù)之法”的數(shù)學(xué)意義并不僅僅在于它構(gòu)造了三種記數(shù)方法，更為重要的是它揭示了人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有限走向無(wú)限的艱難歷程?？陀^的需要和數(shù)學(xué)的發(fā)展都促使人們?nèi)フJ(rèn)識(shí)和把握越來(lái)越大的數(shù)。起初，對(duì)一些較大的數(shù)，人們還可以理解它，還能夠利用已有的記數(shù)單位去表示它。但是，隨著人們認(rèn)識(shí)的發(fā)展，這些大數(shù)也在迅速的擴(kuò)張，原有的記數(shù)單位難以為用。人們不禁要問(wèn)：數(shù)有窮乎？這是數(shù)系發(fā)展中的需要回答的重大命題。《數(shù)術(shù)記遺》中記載的徐岳和他的老師劉洪的對(duì)話，精彩的闡明了“數(shù)窮則變”的深刻道理：徐岳問(wèn)曰：數(shù)有窮乎？會(huì)稽（劉洪）答曰：吾曾游天目山中，見(jiàn)有隱者，世莫知其名，號(hào)曰天目先生，余亦以此意問(wèn)之。先生曰：世人言三不能比兩，乃云捐悶與四維。數(shù)不識(shí)三，妄談知十。不辨積微之為量，詎曉百億于大千？黃帝為法，數(shù)有十等?！瓘膬|至載，終于大衍。會(huì)稽問(wèn)曰：先生之言，上數(shù)者數(shù)窮則變，既云終于大衍，大衍有限，此何得無(wú)窮？先生答曰：數(shù)之為用，言重則變，以小兼大，又加循環(huán)。循環(huán)之理，且有窮乎！天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循環(huán)之理”，以有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限，而指引這一途徑的重要思想是“言重則變”。即便是今日，“數(shù)窮則變”這一樸素的辯證思維所蘊(yùn)涵的深邃哲理仍值得人們深思。三、 有理數(shù)系位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標(biāo)志著人類掌握的數(shù)的語(yǔ)言，已從少量的文字個(gè)體，發(fā)展到了一個(gè)具有完善運(yùn)算規(guī)則的數(shù)系。人類第一個(gè)認(rèn)識(shí)的數(shù)系，就是常說(shuō)的“自然數(shù)系”。但是，隨著人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展，自然數(shù)系的缺陷也就逐漸顯露出來(lái)。首先，自然數(shù)系是一個(gè)離散的、而不是稠密的數(shù)系[2] ,因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個(gè)單位量的整數(shù)倍，而無(wú)法表示它的部分。同時(shí)，作為運(yùn)算的手段，在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運(yùn)算。這些缺陷，由于分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補(bǔ)。有趣的是這些分?jǐn)?shù)也都帶有強(qiáng)烈的地域特征。巴比倫的分?jǐn)?shù)是60進(jìn)位的，埃及采用的是單分?jǐn)?shù)（unit fraction）， *** 的分?jǐn)?shù)更加復(fù)雜：?jiǎn)畏謹(jǐn)?shù)、主分?jǐn)?shù)和復(fù)合分?jǐn)?shù)。這種繁復(fù)的分?jǐn)?shù)表示必然導(dǎo)致分?jǐn)?shù)運(yùn)算方法的繁雜，所以歐洲分?jǐn)?shù)理論長(zhǎng)期停滯不前，直到15世紀(jì)以后才逐步形成現(xiàn)代的分?jǐn)?shù)算法。與之形成鮮明對(duì)照的是中國(guó)古代在分?jǐn)?shù)理論上的卓越貢獻(xiàn)。原始的分?jǐn)?shù)概念來(lái)源于對(duì)量的分割。如《說(shuō)文·八部》對(duì)“分”的解釋：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也。”但是，《九章算術(shù)》中的分?jǐn)?shù)是從除法運(yùn)算引入的。其“合分術(shù)”有云：“實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之。”這句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個(gè)分?jǐn)?shù)。中國(guó)古代分?jǐn)?shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)”把握住了分?jǐn)?shù)算法的精髓：通分。劉徽在《九章算術(shù)注》中所言：眾分錯(cuò)雜，非細(xì)不會(huì)。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢(shì)不可失本數(shù)也。有了齊同術(shù)，就可將分?jǐn)?shù)化異類為同類，變相違為相通。劉徽深得其中奧秘，稱：“然則齊同之術(shù)要矣。錯(cuò)綜度數(shù)，動(dòng)之斯諧，其猶佩觹解結(jié)，無(wú)往而不理焉。乘以散之，約以聚之，齊同以通之，此其算之綱紀(jì)乎。”容易證明，分?jǐn)?shù)系是一個(gè)稠密的數(shù)系，它對(duì)于加、乘、除三種運(yùn)算是封閉的。為了使得減法運(yùn)算在數(shù)系內(nèi)也同行無(wú)阻，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負(fù)數(shù)概念在生活中的實(shí)例，教科書(shū)在向?qū)W生講授負(fù)數(shù)是也多循此途。這就產(chǎn)生一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認(rèn)識(shí)而引進(jìn)了負(fù)數(shù)的。歷史的事實(shí)表明：負(fù)數(shù)之所以最早為中算家所引進(jìn)，這是由中國(guó)古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，算法高度發(fā)達(dá)和籌算機(jī)械化的特點(diǎn)所決定的。負(fù)數(shù)的概念和算法首先出現(xiàn)在《九章算術(shù)》“方程”章，因?yàn)閷?duì)“方程”進(jìn)行兩行之間的加減消元時(shí)，就必須引入負(fù)數(shù)和建立正負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則。劉徽的注釋深刻的闡明了這點(diǎn)：今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之。正算赤，負(fù)算黑，否則以斜正為異。方程自有赤黑相取，左右數(shù)相推求之術(shù)。而其并減之勢(shì)不得廣通，故使赤黑相消奪之?！食嗪谙嚯s足以定上下之程，減益雖殊足以通左右之?dāng)?shù)，差實(shí)雖分足以應(yīng)同異之率。然則其正無(wú)入負(fù)之，負(fù)無(wú)入正之，其率不妄也。負(fù)數(shù)雖然通過(guò) *** 人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)它們是數(shù)，或者即使承認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。如丘凱（Nicolas Chuquet ,1445-1500）和斯蒂費(fèi)爾（Stifel ,1486-1567） 都把負(fù)數(shù)說(shuō)成是荒謬的數(shù)，是“無(wú)稽之零下”。卡丹（Cardan,1501- 1576） 把負(fù)數(shù)作為方程的根，但認(rèn)為它們是不可能的解，僅僅是一些記號(hào);他把負(fù)根稱作是虛有的。韋達(dá)（Vieta, 1540- 1630） 完全不要負(fù)數(shù)，巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 則認(rèn)為從0減去4純粹是胡說(shuō)。負(fù)數(shù)是人類第一次越過(guò)正數(shù)域的范圍，前此種種的經(jīng)驗(yàn)，在負(fù)數(shù)面前全然無(wú)用。在數(shù)系發(fā)展的歷史進(jìn)程中，現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)有時(shí)不僅無(wú)用，反而會(huì)成為一種阻礙。我們將會(huì)看到，負(fù)數(shù)并不是惟一的例子。四、 實(shí)數(shù)理論的完善無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了Pythagoras學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的美夢(mèng)。同時(shí)暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)”。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時(shí)間內(nèi)，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，起到了深遠(yuǎn)的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜。兩個(gè)不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋，而被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它們稱為是“無(wú)理的數(shù)”（irrational number），開(kāi)普勒（J. Kepler, 1571- 1630）稱它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無(wú)理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到雖然在后來(lái)的運(yùn)算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實(shí)實(shí)在在的數(shù)，卻一直是個(gè)困擾人的問(wèn)題。中國(guó)古代數(shù)學(xué)在處理開(kāi)方問(wèn)題時(shí)，也不可避免地碰到無(wú)理根數(shù)。對(duì)于這種“開(kāi)之不盡”的數(shù)，《九章算術(shù)》直截了當(dāng)?shù)亍耙悦婷庇枰越邮?，劉徽注釋中的“求其微?shù)”，實(shí)際上是用10進(jìn)小數(shù)來(lái)無(wú)限逼近無(wú)理數(shù)。這本是一條完成實(shí)數(shù)的正確道路，只是劉徽的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時(shí)代，而未能引起后人的重視。不過(guò)，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)注的是數(shù)量的計(jì)算，對(duì)數(shù)的本質(zhì)并沒(méi)有太大的興趣。（李）而善于究根問(wèn)底的希臘人就無(wú)法邁過(guò)這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數(shù)學(xué)家，如歐多克斯（Eudoxus）、歐幾里得（Euclid）在他們的幾何學(xué)里，都嚴(yán)格避免把數(shù)與幾何量等同起來(lái)。歐多克斯的比例論（見(jiàn)《幾何原本》第5卷），使幾何學(xué)在邏輯上繞過(guò)了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長(zhǎng)時(shí)期中，形成了幾何與算術(shù)的顯著分離。17、18世紀(jì)微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意力，恰恰是人們對(duì)微積分基礎(chǔ)的關(guān)注，使得實(shí)數(shù)域的連續(xù)性問(wèn)題再次突顯出來(lái)。因?yàn)?，微積分是建立在極限運(yùn)算基礎(chǔ)上的變量數(shù)學(xué)，而極限運(yùn)算，需要一個(gè)封閉的數(shù)域。無(wú)理數(shù)正是實(shí)數(shù)域連續(xù)性的關(guān)鍵。無(wú)理數(shù)是什么？法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）給出了回答：無(wú)理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數(shù)序列的極限，意即預(yù)先存在一個(gè)確定的數(shù)，使它與序列中各數(shù)的差值，當(dāng)序列趨于無(wú)窮時(shí)，可以任意小。但是，這個(gè)預(yù)先存在的“數(shù)”，又從何而來(lái)呢？在柯西看來(lái)，有理序列的極限，似乎是先驗(yàn)地存在的。這表明，柯西盡管是那個(gè)時(shí)代大分析學(xué)家，但仍未能擺脫兩千多年來(lái)以幾何直覺(jué)為立論基礎(chǔ)的傳統(tǒng)觀念的影響。變量數(shù)學(xué)獨(dú)立建造完備數(shù)域的歷史任務(wù)，終于在19世紀(jì)后半葉，由維爾斯特拉斯（Weierstrass,1815- 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。1872年，是近代數(shù)學(xué)史上最值得紀(jì)念的一年。這一年，克萊因（F.Kline,1849- 1925）提出了著名的“埃爾朗根綱領(lǐng)”（Erlanger Programm），維爾斯特拉斯給出了處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的著名例子。也正是在這一年，實(shí)數(shù)的三大派理論：戴德金“分割”理論;康托的“基本序列”理論，以及維爾斯特拉斯的“有界單調(diào)序列”理論，同時(shí)在德國(guó)出現(xiàn)了。努力建立實(shí)數(shù)的目的，是為了給出一個(gè)形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來(lái)定義無(wú)理數(shù)的邏輯錯(cuò)誤。有了這些定義做基礎(chǔ)，微積分中關(guān)于極限的基本定理的推導(dǎo)，才不會(huì)有理論上的循環(huán)。導(dǎo)數(shù)和積分從而可以直接在這些定義上建立起來(lái)，免去任何與感性認(rèn)識(shí)聯(lián)系的性質(zhì)。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發(fā)展的漫長(zhǎng)歲月的過(guò)程中已經(jīng)被證明。因此，必要的嚴(yán)格性只有通過(guò)數(shù)的概念，并且在割斷數(shù)的概念與幾何量觀念的聯(lián)系之后才能完全達(dá)到。這里，戴德金的工作受到了崇高的評(píng)價(jià)，這是因?yàn)?，由“戴德金分割”定義的實(shí)數(shù)，是完全不依賴于空間與時(shí)間直觀的人類智慧的創(chuàng)造物。實(shí)數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對(duì)無(wú)理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實(shí)數(shù)域。實(shí)數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來(lái)存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無(wú)理數(shù)不再是“無(wú)理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實(shí)現(xiàn)。五、 復(fù)數(shù)的擴(kuò)張復(fù)數(shù)概念的進(jìn)化是數(shù)學(xué)史中最奇特的一章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒(méi)有按照教科書(shū)所描述的邏輯連續(xù)性。人們沒(méi)有等待實(shí)數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立之后，才去嘗試新的征程。在數(shù)系擴(kuò)張的歷史過(guò)程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認(rèn)識(shí)，而天才的直覺(jué)隨著勇敢者的步伐已經(jīng)到達(dá)了遙遠(yuǎn)的前哨陣地。1545年，此時(shí)的歐洲人尚未完全理解負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)，然而他們智力又面臨一個(gè)新的“怪物”的挑戰(zhàn)。例如卡丹在所著《重要的藝術(shù)》（1545）中提出一個(gè)問(wèn)題：把10分成兩部分，使其乘積為40.這需要解方程x （10-x） = 40,他求得的根是 和 ,然后說(shuō)“不管會(huì)受到多大的良心責(zé)備，”把 和 相乘，得到25—（—15）= 40.于是他說(shuō)，“算術(shù)就是這樣神妙地搞下去，它的目標(biāo)，正如常言所說(shuō)，是有精致又不中用的?！钡芽枺―escartes,1596-1650）也拋棄復(fù)根，并造出了“虛數(shù)”（imaginary number）這個(gè)名稱。對(duì)復(fù)數(shù)的模糊認(rèn)識(shí)，萊布尼茲（Leibniz,1646- 1716）的說(shuō)法最有代表性：“圣靈在分析的奇觀中找到了超凡的顯示，這就是那個(gè)理想世界的端兆，那個(gè)介于存在與不存在之間的兩棲物，那個(gè)我們稱之為虛的—1的平方根?！敝钡?8世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對(duì)復(fù)數(shù)才稍稍建立了一些信心。因?yàn)?，不管什么地方，在?shù)學(xué)的推理中間步驟中用了復(fù)數(shù)，結(jié)果都被證明是正確的。特別是1799年，高斯（Gauss,1777- 1855）關(guān)于“代數(shù)基本定理”的證明必須依賴對(duì)復(fù)數(shù)的承認(rèn)，從而使復(fù)數(shù)的地位得到了近一步的鞏固。當(dāng)然，這并不是說(shuō)人們對(duì)“復(fù)數(shù)”的顧慮完全消除了。甚至在1831年，棣莫甘（De Morgan,1806- 1871） 在他的著作《論數(shù)學(xué)的研究和困難》中依然認(rèn)為：已經(jīng)證明了記號(hào) 是沒(méi)有意義的，或者甚至是自相矛盾或荒唐可笑的。然而，通過(guò)這些記號(hào)，代數(shù)中極其有用的一部分便建立起來(lái)的，它依賴于一件必須用經(jīng)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)的事實(shí)，即代數(shù)的一般規(guī)則可以應(yīng)用于這些式子（復(fù)數(shù)）?！覀冎溃?8世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的“英雄世紀(jì)”，人們的熱情是如何發(fā)揮微積分的威力，去擴(kuò)大數(shù)學(xué)的領(lǐng)地，沒(méi)有人會(huì)對(duì)實(shí)數(shù)系和復(fù)數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)而操心。既然復(fù)數(shù)至少在運(yùn)算法則上還是直觀可靠的，那又何必去自找麻煩呢？1797年，挪威的韋塞爾（C. Wessel,1745-1818） 寫(xiě)了一篇論文“關(guān)于方向的分析表示”，試圖利用向量來(lái)表示復(fù)數(shù)，遺憾的是這篇文章的重大價(jià)值直到1897年譯成法文后，才被人們重視。瑞士人阿甘達(dá)（J. Argand ,1768-1822） 給出復(fù)數(shù)的一個(gè)稍微不同的幾何解釋。他注意到負(fù)數(shù)是正數(shù)的一個(gè)擴(kuò)張，它是將方向和大小結(jié)合起來(lái)得出的，他的思路是：能否利用新增添某種新的概念來(lái)擴(kuò)張實(shí)數(shù)系？（歷史論文 ）在使人們接受復(fù)數(shù)方面，高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為復(fù)平面上的一點(diǎn) （ a, b），而且闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法和乘法。他還說(shuō)，如果1, —1 和 原來(lái)不稱為正、負(fù)和虛單位，而稱為直、反和側(cè)單位，那么人們對(duì)這些數(shù)就可能不會(huì)產(chǎn)生種種陰暗神秘的印象。他說(shuō)幾何表示可以使人們對(duì)虛數(shù)真正有一個(gè)新的看法，他引進(jìn)術(shù)語(yǔ)“復(fù)數(shù)”（complex number）以與虛數(shù)相對(duì)立，并用 i 代替 .在澄清復(fù)數(shù)概念的工作中，愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家哈米爾頓（Hamilton,1805 – 1865） 是非常重要的。哈米爾頓所關(guān)心的是算術(shù)的邏輯，并不滿足于幾何直觀。他指出：復(fù)數(shù)a+ bi 不是 2 + 3意義上的一個(gè)真正的和，加號(hào)的使用是歷史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。復(fù)數(shù)a+ bi 只不過(guò)是實(shí)數(shù)的有序數(shù)對(duì)（a,b），并給出了有序數(shù)對(duì)的四則運(yùn)算，同時(shí)，這些運(yùn)算滿足結(jié)合律、交換率和分配率。在這樣的觀點(diǎn)下，不僅復(fù)數(shù)被邏輯地建立在實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上，而且至今還有點(diǎn)神秘的 也完全消除了?；仡檾?shù)系的歷史發(fā)展，似乎給人這樣一種印象：數(shù)系的每一次擴(kuò)充，都是在舊的數(shù)系中添加新的元素。如分?jǐn)?shù)添加于整數(shù)，負(fù)數(shù)添加于正數(shù)，無(wú)理數(shù)添加于有理數(shù)，復(fù)數(shù)添加于實(shí)數(shù)。但是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)為：數(shù)系的擴(kuò)張，并不是在舊的數(shù)系中添加新元素，而是在舊的數(shù)系之外去構(gòu)造一個(gè)新的代數(shù)系，其元素在形式上與舊的可以完全不同，但是，它包含一個(gè)與舊代數(shù)系同構(gòu)的子集，這種同構(gòu)必然保持新舊代數(shù)系之間具有完全相同的代數(shù)構(gòu)造。當(dāng)人們澄清了復(fù)數(shù)的概念后，新的問(wèn)題是：是否還能在保持復(fù)數(shù)基本性質(zhì)的條件下對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行新的擴(kuò)張呢？答案是否定的。當(dāng)哈米爾頓試圖尋找三維空間復(fù)數(shù)的類似物時(shí)，他發(fā)現(xiàn)自己被迫要做兩個(gè)讓步：第一，他的新數(shù)要包含四個(gè)分量;第二，他必須犧牲乘法交換率。這兩個(gè)特點(diǎn)都是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)系的革命。他稱這新的數(shù)為“四元數(shù)”?！八脑獢?shù)”的出現(xiàn)昭示著傳統(tǒng)觀念下數(shù)系擴(kuò)張的結(jié)束。1878年，富比尼（F.Frobenius, 1849 – 1917） 證明：具有有限個(gè)原始單元的、有乘法單位元素的實(shí)系數(shù)先行結(jié)合代數(shù)，如果服從結(jié)合律，那就只有實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)和實(shí)四元數(shù)的代數(shù)。數(shù)學(xué)的思想一旦沖破傳統(tǒng)模式的藩籬，便會(huì)產(chǎn)生無(wú)可估量的創(chuàng)造力。哈米爾頓的四元數(shù)的發(fā)明，使數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到既然可以拋棄實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的交換性去構(gòu)造一個(gè)有意義、有作用的新“數(shù)系”，那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的通常性質(zhì)的代數(shù)構(gòu)造。數(shù)系的擴(kuò)張雖然就此終止，但是，通向抽象代數(shù)的大門(mén)被打開(kāi)了。參考文獻(xiàn)[1] Tobias Dantzing. 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數(shù)學(xué)發(fā)展具有階段性，因此根據(jù)一定的原則把數(shù)學(xué)史分成若干時(shí)期。
目前通常將數(shù)學(xué)發(fā)展劃分為以下五個(gè)時(shí)期：
1．?dāng)?shù)學(xué)萌芽期（公元前600年以前）；
2．初等數(shù)學(xué)時(shí)期（公元前600年至17世紀(jì)中葉）；
3．變量數(shù)學(xué)時(shí)期（17世紀(jì)中葉至19世紀(jì)20年代）；
4．近代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代至第二次世界大戰(zhàn)）；
5．現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（20世紀(jì)40年代以來(lái)）
在數(shù)學(xué)萌芽期這一時(shí)期，數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)時(shí)間的萌芽階段，在生產(chǎn)的基礎(chǔ)上積累了豐富的有關(guān)數(shù)和形的感性知識(shí)。
到了公元前六世紀(jì)，希臘幾何學(xué)的出現(xiàn)成讓歷亮為第一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，數(shù)學(xué)從此由具體的、實(shí)驗(yàn)的階段，過(guò)渡到抽象的、理論的階段，開(kāi)始創(chuàng)立初等數(shù)學(xué)。
此后又經(jīng)過(guò)不斷的發(fā)展和交流，最后形成了幾何、算術(shù)、代數(shù)、三角等獨(dú)立學(xué)科。
世界上最古老的幾個(gè)國(guó)家都位于大河流域：黃河流域的中國(guó)；尼羅河下游的埃及；幼發(fā)拉底河與底格里斯河的巴比倫國(guó)；印度河與恒河的印度。
這些國(guó)家都是在農(nóng)業(yè)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，因此他們就必須掌握四季氣候變遷的規(guī)律。
現(xiàn)在對(duì)于古巴比倫數(shù)學(xué)的了解主要是根據(jù)巴比倫泥版，這些數(shù)學(xué)泥版表明，巴比倫自公元前2000年左右即開(kāi)始使用60進(jìn)位制的記數(shù)法進(jìn)行較復(fù)雜的計(jì)算了，并出現(xiàn)了60進(jìn)位的分?jǐn)?shù)，用與整數(shù)同樣的法則進(jìn)行計(jì)算；已經(jīng)有了關(guān)于倒數(shù)、乘法、平方、立方、平方根、立方根的數(shù)表；借助于倒數(shù)表，除法常轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行計(jì)算。
巴比倫數(shù)學(xué)具有算術(shù)和代數(shù)的特征，幾何只是表達(dá)代數(shù)問(wèn)題的一種方法。
這時(shí)還沒(méi)有產(chǎn)生數(shù)學(xué)的理論。
對(duì)埃及古代數(shù)學(xué)的了解，主要是根據(jù)兩卷紙草書(shū)。
從這兩卷文獻(xiàn)中可以看到，古埃及是采用10進(jìn)位制的記數(shù)法。
埃及人的數(shù)學(xué)興趣是測(cè)量土地，幾何問(wèn)題多是講度量法的，涉及到田地的面積、谷倉(cāng)的容積和有關(guān)金字塔的簡(jiǎn)易計(jì)算法。
但是由于這些計(jì)算法是為了解決尼羅河泛濫后土地測(cè)量和谷物分配、容量計(jì)算等日常生活中必須解決的課題而設(shè)想出來(lái)的，因此并沒(méi)有出現(xiàn)對(duì)公式、定理、證明加以理論推導(dǎo)的傾向。
埃及數(shù)學(xué)的一個(gè)主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了發(fā)展。
由于地理位置和自然條件，古希臘受到埃及、巴比倫這些文明古國(guó)的許多影響，成為歐洲最先創(chuàng)造文明的地區(qū)。
希臘的數(shù)學(xué)是輝煌的數(shù)學(xué)，第一個(gè)時(shí)期開(kāi)始于公元前6世紀(jì)，結(jié)束于公元前4世紀(jì)。
泰勒斯開(kāi)始了命題的邏輯證明，開(kāi)始了希臘偉大的數(shù)學(xué)發(fā)展。
進(jìn)入公元前5世紀(jì)，愛(ài)利亞學(xué)派的芝諾提出了四個(gè)關(guān)爛槐于運(yùn)動(dòng)的悖論，柏拉圖強(qiáng)調(diào)幾何對(duì)培養(yǎng)邏輯思維能力的重要作用，亞里士多德建立了形式邏輯，并且把它作為證明的；德謨克利特把幾何量看成是由許多不可再分的原子所構(gòu)成。
第二個(gè)時(shí)期自公元前4世紀(jì)末至公元1世紀(jì)，這時(shí)的學(xué)術(shù)中心從雅典轉(zhuǎn)移到了亞歷山大里亞，因此被稱為亞歷山大里亞時(shí)期。
這一時(shí)期有許多水平很高的數(shù)學(xué)書(shū)稿問(wèn)世，并一直流傳到了現(xiàn)在。
公元前3世紀(jì)，歐幾里得寫(xiě)出了平面幾何、比例論、數(shù)論、無(wú)理量論、立體幾何的集大成的著作幾何原本，第一次把幾何學(xué)建立在演繹體系上，成為數(shù)學(xué)史乃至思想史上一部劃時(shí)代的名著。
之后的阿基米德把抽象的數(shù)學(xué)理論和具體的工程技術(shù)結(jié)合起來(lái)，根據(jù)力學(xué)原理去探求幾何圖形的面積和體積，奠定了微積分的基礎(chǔ)。
阿波羅尼寫(xiě)出了《圓錐曲線》一書(shū)，成為后來(lái)研究這一問(wèn)題的基礎(chǔ)。
公元一世紀(jì)的赫倫寫(xiě)出了使用具體數(shù)解釋求積法的《測(cè)量術(shù)》等著作。
二世紀(jì)的托勒密完成了到那時(shí)為止的數(shù)理天文學(xué)的集大成著作《數(shù)學(xué)匯編》，結(jié)合天文學(xué)研究三角學(xué)。
三世紀(jì)丟番圖著《算術(shù)》，使用簡(jiǎn)略號(hào)求解不定方程式等問(wèn)題，它對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響僅次于《幾何原本》。
希臘數(shù)學(xué)中最突出的三大成就--歐幾里得的幾何學(xué)，阿基米德的窮竭法和阿波羅尼的圓錐曲線論，標(biāo)志著當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)的主體部分--算術(shù)、代數(shù)、幾何基本上已經(jīng)建立起來(lái)了。
羅馬人征服了希臘也摧毀了希臘的文化。
公元前47年，羅馬人焚毀了亞歷山大里亞圖書(shū)館，兩個(gè)半世紀(jì)以來(lái)收集的藏書(shū)和50萬(wàn)份手稿競(jìng)付之一炬。
從5世紀(jì)到15世紀(jì)，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)移到了東方的印度、中亞細(xì)亞、 *** 國(guó)家和中國(guó)。
在這1000多年時(shí)間里，數(shù)學(xué)主要是由于計(jì)算的需要，特別是由于天文學(xué)的需要而得到迅速發(fā)展。
古希臘的數(shù)學(xué)看重抽象、邏輯坦寬和理論，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是認(rèn)識(shí)自然的，重點(diǎn)是幾何；而古代中國(guó)和印度的數(shù)學(xué)看重具體、經(jīng)驗(yàn)和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是支配自然的，重點(diǎn)是算術(shù)和代數(shù)。
印度的數(shù)學(xué)也是世界數(shù)學(xué)的重要組成部分。
數(shù)學(xué)作為一門(mén)學(xué)科確立和發(fā)展起來(lái)。
印度數(shù)學(xué)受婆羅門(mén)教的影響很大，此外還受希臘、中國(guó)和近東數(shù)學(xué)的影響，特別是受中國(guó)的影響。
此外， *** 數(shù)學(xué)也有著舉足輕重的作用， *** 人改進(jìn)了印度的計(jì)數(shù)，"代數(shù)"的研究對(duì)象規(guī)定為方程論；讓幾何從屬于代數(shù)，不重視證明；引入正切、余切、正割、余割等三角函數(shù)，制作精密的三角函數(shù)表，發(fā)現(xiàn)平面三角與球面三角若干重要的公式，使三角學(xué)脫離天文學(xué)獨(dú)立出來(lái)。
在我國(guó)，春秋戰(zhàn)國(guó)之際，籌算已得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的。
這個(gè)時(shí)期的測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高。
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期，經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期，它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個(gè)專門(mén)的學(xué)科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)。
《九章算術(shù)》是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來(lái)說(shuō)，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。
魏、晉時(shí)期趙爽與劉徽的工作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。
劉徽用無(wú)窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題。
在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。
這之后，我國(guó)數(shù)學(xué)經(jīng)過(guò)像秦九邵、祖沖之、郭守敬、程大位這樣的數(shù)學(xué)家進(jìn)一步發(fā)展了我國(guó)的數(shù)學(xué)事業(yè)。
在西歐的歷史上，中世紀(jì)的黑暗在一定程度上阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展，15世紀(jì)開(kāi)始了歐洲的文藝復(fù)興，使歐洲的數(shù)學(xué)得以進(jìn)一步發(fā)展，15世紀(jì)的數(shù)學(xué)活動(dòng)集中在算術(shù)、代數(shù)和三角方面。
繆勒的名著《三角全書(shū)》是歐洲人對(duì)平面和球面三角學(xué)所作的獨(dú)立于天文學(xué)的第一個(gè)的闡述。
16世紀(jì)塔塔利亞發(fā)現(xiàn)三次方程的代數(shù)解法，接受了負(fù)數(shù)并使用了虛數(shù)。
16世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家是偉達(dá)，他寫(xiě)了許多關(guān)于三角學(xué)、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)的著作，其中最著名的《分析方法入門(mén)》改進(jìn)了符號(hào)，使代數(shù)學(xué)大為改觀；斯蒂文創(chuàng)設(shè)了小數(shù)。
17世紀(jì)初，對(duì)數(shù)的發(fā)明是初等數(shù)學(xué)的一大成就。
1614年，耐普爾首創(chuàng)了對(duì)對(duì)數(shù)，1624年布里格斯引入了相當(dāng)于現(xiàn)在的常用對(duì)數(shù)，計(jì)算方法因而向前推進(jìn)了一大步。
至此，初等數(shù)學(xué)的主體部分--算術(shù)、代數(shù)與幾何已經(jīng)全部形成，并且發(fā)展成熟。
變量數(shù)學(xué)時(shí)期從17世紀(jì)中葉到19世紀(jì)20年代，這一時(shí)期數(shù)學(xué)研究的主要內(nèi)容是數(shù)量的變化及幾何變換。
這一時(shí)期的主要成果是解析幾何、微積分、高等代數(shù)等學(xué)科。
17世紀(jì)是一個(gè)開(kāi)創(chuàng)性的世紀(jì)。
這個(gè)世紀(jì)中發(fā)生了對(duì)于數(shù)學(xué)具有重大意義的三件大事。
首先是伽里略實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)，它表明了數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的一種嶄新的結(jié)合。
其特點(diǎn)是在所研究的現(xiàn)象中，找出一些可以度量的因素，并把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到這些量的變化規(guī)律中去。
第二件大事是笛卡兒的重要著作《方法談》及其附錄《幾何學(xué)》于1637年發(fā)表。
它引入了運(yùn)動(dòng)著的一點(diǎn)的坐標(biāo)的概念，引入了變量和函數(shù)的概念。
由于有了坐標(biāo)，平面曲線與二元方程之間建立起了聯(lián)系，由此產(chǎn)生了一門(mén)用代數(shù)方法研究幾何學(xué)的新學(xué)科--解析幾何學(xué)。
這是數(shù)學(xué)的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，也是變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個(gè)決定性步驟。
第三件大事是微積分學(xué)的建立，最重要的工作是由牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立完成的。
他們認(rèn)識(shí)到微分和積分實(shí)際上是一對(duì)逆運(yùn)算，從而給出了微積分學(xué)基本定理，即牛頓-萊布尼茲公式。
17世紀(jì)的數(shù)學(xué)，發(fā)生了許多深刻的、明顯的變革。
在數(shù)學(xué)的活動(dòng)范圍方面，數(shù)學(xué)教育擴(kuò)大了，從事數(shù)學(xué)工作的人迅速增加，數(shù)學(xué)著作在較廣的范圍內(nèi)得到傳播，而且建立了各種學(xué)會(huì)。
在數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)方面，從形的研究轉(zhuǎn)向了數(shù)的研究，代數(shù)占據(jù)了主導(dǎo)地位。
在數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì)方面，開(kāi)始了科學(xué)數(shù)學(xué)化的過(guò)程。
最早出現(xiàn)的是力學(xué)的數(shù)學(xué)化，它以1687年牛頓寫(xiě)的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》為代表，從三大定律出發(fā)，用數(shù)學(xué)的邏輯推理將力學(xué)定律逐個(gè)地、必然地引申出來(lái)。
18世紀(jì)數(shù)學(xué)的各個(gè)學(xué)科，如三角學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)、數(shù)論、方程論，得到快速發(fā)展。
19世紀(jì)20年代出現(xiàn)了一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)成就，它就是把微積分的理論基礎(chǔ)牢固地建立在極限的概念上。
柯西于1821年在《分析教程》一書(shū)中，發(fā)展了可接受的極限理論，然后極其嚴(yán)格地定義了函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)和積分，強(qiáng)調(diào)了研究級(jí)數(shù)收斂性的必要，給出了正項(xiàng)級(jí)數(shù)的根式判別法和積分判別法。
而在這一時(shí)期，非歐幾何的出現(xiàn)，成為數(shù)學(xué)史上的一件大事，非歐幾何的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為歐氏幾何唯一地存在是天經(jīng)地義的觀點(diǎn)。
它的革命思想不僅為新幾何學(xué)開(kāi)辟了道路，而且是20世紀(jì)相對(duì)論產(chǎn)生的前奏和準(zhǔn)備。
這時(shí)人們發(fā)現(xiàn)了與通常的歐幾里得幾何不同的、但也是正確的幾何--非歐幾何。
非歐幾何所導(dǎo)致的思想解放對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)有著極為重要的意義，因?yàn)槿祟惤K于開(kāi)始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本質(zhì)。
非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，黎曼和羅巴切夫斯基功不可滅，黎曼推廣了空間的概念，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)一片更廣闊的領(lǐng)域--黎曼幾何學(xué)。
后來(lái)，哈密頓發(fā)現(xiàn)了一種乘法交換律不成立的代數(shù)--四元數(shù)代數(shù)。
不可交換代數(shù)的出現(xiàn)，改變了人們認(rèn)為存在與一般的算術(shù)代數(shù)不同的代數(shù)是不可思議的觀點(diǎn)。
它的革命思想打開(kāi)了近代代數(shù)的大門(mén)。
另一方面，由于一元方程根式求解條件的探究，引進(jìn)了群的概念。
19世紀(jì)20～30年代，阿貝爾和伽羅瓦開(kāi)創(chuàng)了近世代數(shù)學(xué)的研究。
這時(shí)，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象擴(kuò)大為向量、矩陣，等等，并漸漸轉(zhuǎn)向代數(shù)結(jié)構(gòu)本身的研究。
19世紀(jì)還發(fā)生了第三個(gè)有深遠(yuǎn)意義的數(shù)學(xué)事件：分析的算術(shù)化。
1874年威爾斯特拉斯提出了被稱為"分析的算術(shù)化"的著名設(shè)想，實(shí)數(shù)系本身最先應(yīng)該嚴(yán)格化，然后分析的所有概念應(yīng)該由此數(shù)系導(dǎo)出。
19世紀(jì)后期，由于狄德金、康托和皮亞諾的工作，這些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)建立在更簡(jiǎn)單、更基礎(chǔ)的自然數(shù)系之上。
20世紀(jì)40～50年代，世界科學(xué)史上發(fā)生了三件驚天動(dòng)地的大事，即原子能的利用、電子計(jì)算機(jī)的發(fā)明和空間技術(shù)的興起。
此外還出現(xiàn)了許多新的情況，促使數(shù)學(xué)發(fā)生急劇的變化。
1945年，第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)誕生以后，由于電子計(jì)算機(jī)應(yīng)用廣泛、影響巨大，圍繞它很自然要形成一門(mén)龐大的科學(xué)。
計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更是促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，使數(shù)學(xué)分為了三個(gè)領(lǐng)域，純粹數(shù)學(xué)，計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)。
現(xiàn)代數(shù)學(xué)雖然呈現(xiàn)出多姿多彩的局面，但是它的主要特點(diǎn)可以概括如下：(1)數(shù)學(xué)的對(duì)象、內(nèi)容在深度和廣度上都有了很大的發(fā)展，分析學(xué)、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)的思想、理論和方法都發(fā)生了驚人的變化，數(shù)學(xué)的不斷分化，不斷綜合的趨勢(shì)都在加強(qiáng)。
(2)電子計(jì)算機(jī)進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域，產(chǎn)生巨大而深遠(yuǎn)的影響。
(3)數(shù)學(xué)滲透到幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域，并且起著越來(lái)越大的作用，純粹數(shù)學(xué)不斷向縱深發(fā)展，數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈基礎(chǔ)。
數(shù)的概念是從實(shí)踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的．早在人類社會(huì)初期，人們?cè)卺鳙C、采集果實(shí)等勞動(dòng)中，由于計(jì)數(shù)的需要，就產(chǎn)生了自然數(shù)；隨著生產(chǎn)和科學(xué)的發(fā)展，數(shù)的概念也得到了發(fā)展：為了解決測(cè)量、分配中遇到的將某些量進(jìn)行等分的問(wèn)題，人們引進(jìn)了分?jǐn)?shù)；為了滿足記數(shù)需要和表示具有相反意義的量，人們引進(jìn)了負(fù)數(shù)；為了解決開(kāi)方開(kāi)不盡的矛盾，人們引進(jìn)了無(wú)理數(shù)；在解方程時(shí)，為了使負(fù)數(shù)開(kāi)平方有意義，人們就引進(jìn)了梁薯虛數(shù)，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域．
十六世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹在解一元二次方程 和一元三次方程 時(shí)，分別得到類似下面的結(jié)果：
，
由于負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)系內(nèi)沒(méi)有平方根，于是他首先產(chǎn)生了將負(fù)數(shù)開(kāi)平方的思想，基于自己的設(shè)想，卡爾丹研究了類似于 的新數(shù)，并進(jìn)行了計(jì)算．后來(lái)又有一位意大利數(shù)學(xué)家?guī)图永骄苛诉@類新數(shù)的運(yùn)算法則．但最初，人們對(duì)復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)的了解不甚清楚，對(duì)于卡爾丹將40表示成 的乘積認(rèn)為只不過(guò)是一種純形式的表示而已，莫名其妙；再者用這類新數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算又會(huì)得到一些矛盾，因而長(zhǎng)期以來(lái)，人們把復(fù)數(shù)看作是不能接受的“虛數(shù)”．直到十七世紀(jì)和十八世紀(jì)，隨著微積分的發(fā)明與發(fā)展，以及這個(gè)時(shí)期復(fù)數(shù)有了幾何的解釋，“虛數(shù)”才被揭去縹緲的面紗，漸露端倪．1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾正式開(kāi)始使用“實(shí)數(shù)”、“虛數(shù)”這兩個(gè)名詞；同一時(shí)期，德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨、瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗等研究了虛數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)之間的關(guān)系，除了解方程外，還把它用于微積分等方面進(jìn)行應(yīng)用研究，得到很多有價(jià)值的結(jié)果．1777年，歐拉地建立了復(fù)數(shù)理論，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理，并開(kāi)始把它們用到水力學(xué)和地圖制圖學(xué)上；歐拉首先用符號(hào)“i”作為虛數(shù)的單位，并定義 1797年，挪威數(shù)學(xué)家維賽爾在平面內(nèi)引進(jìn)數(shù)軸，以實(shí)軸與虛軸所確定的平面向量表示虛數(shù)，不同的向量對(duì)應(yīng)不同的點(diǎn)，他還用幾何術(shù)語(yǔ)定義了虛數(shù)與向量的運(yùn)算，揭示了虛數(shù)及其運(yùn)算所具有的幾何意義．
十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初，著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在證明代數(shù)基本定理“任何一元n次方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有n個(gè)根”時(shí)，就應(yīng)用并論述了卡爾丹所設(shè)想的新數(shù)，并首次引進(jìn)了“復(fù)數(shù)”這個(gè)名詞，把復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，創(chuàng)立了復(fù)平面，依賴于平面內(nèi)的點(diǎn)或有向線段(向量)建立了復(fù)數(shù)的幾何基礎(chǔ)．這樣歷經(jīng)300年的努力橡埋者，數(shù)系從實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)張才基本完成，復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)和使用．
復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中起著重要的作用，除了上述的代數(shù)基本定理外，還有“實(shí)系數(shù)的一元n次方程虛根成對(duì)出現(xiàn)”定理等，特別是以復(fù)數(shù)為變量的“復(fù)變函數(shù)論”，是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要分支．十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論經(jīng)過(guò)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西、德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼和維爾斯特拉斯的巨大努力，已經(jīng)形成了非常的理論，并且深刻地滲入到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分方程，概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支．同時(shí)，它在電學(xué)、熱力學(xué)、彈性理論和天體力學(xué)等方液歲面都得到了實(shí)際應(yīng)用．
數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史是：
1、人類進(jìn)入原始社會(huì)，就需要數(shù)學(xué)了，從早期的結(jié)繩記事到學(xué)會(huì)記數(shù)，再到簡(jiǎn)單的加減乘除，這些都是人類日常生活中所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)是有等級(jí)的，就像自然數(shù)的運(yùn)算是小學(xué)生的水平一樣，超出了這個(gè)范圍小學(xué)生就不能理解了。
像有好襪肢未知數(shù)的運(yùn)算小學(xué)生就無(wú)從下手一樣，數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展也是從低級(jí)向高級(jí)進(jìn)化的，人類最早理解的是算數(shù)，經(jīng)過(guò)額一段時(shí)間的發(fā)展算數(shù)發(fā)展到了方程、函數(shù)，一級(jí)一級(jí)的進(jìn)化，才發(fā)展到了現(xiàn)代的的數(shù)學(xué)。
2、人類數(shù)學(xué)的發(fā)展做出較大成就的是古希臘時(shí)期，奇怪的是古希臘對(duì)數(shù)的運(yùn)算并不突出，反而是要到中學(xué)才能學(xué)到的幾何學(xué)在古希臘好羨就奠定了基礎(chǔ)，學(xué)過(guò)幾何的人對(duì)歐幾里得不會(huì)陌生，歐幾里得是古希臘人，數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”。
他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，提出五大公設(shè)，歐幾里得幾何，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書(shū)。歐幾里得也寫(xiě)了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。
3、在古希臘教育中幾何學(xué)占有相當(dāng)重要的地位，柏拉圖提倡的希臘六藝就包括幾何，后來(lái)希臘文化衰落了，希臘被入侵，希臘圖書(shū)館的藏書(shū)被掠奪了，被阿拉伯人保存了。
4、在算術(shù)上，阿拉伯人對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是現(xiàn)在人們最熟悉的1、2、……9、0十個(gè)數(shù)字，稱為阿拉伯?dāng)?shù)字。但是，在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，阿拉伯人主友世要吸收、保存了希臘和印度的數(shù)學(xué)，并將它傳給歐洲。
阿拉伯人采用和改進(jìn)了印度的數(shù)字記號(hào)和進(jìn)位記法，也采用了印度的數(shù)學(xué)記號(hào)和進(jìn)位記法，也采用了印度的無(wú)理數(shù)運(yùn)算，但放棄了負(fù)數(shù)的運(yùn)算。代數(shù)這門(mén)學(xué)科名稱就是由阿拉伯人發(fā)明的。阿拉伯人還解出一些一次、二次方程，甚至三次方程。
5、12、13世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)界的代表人物是斐波那契，他向歐洲人介紹了印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼和位值制記數(shù)法，以及各種算法在商業(yè)上的應(yīng)用。中國(guó)的盈不足術(shù)和《孫子算經(jīng)》的不定方程解法也出現(xiàn)在斐波那契的書(shū)中。此外他還有很多獨(dú)創(chuàng)性的工作。
