全國高中數學競賽題？一、選擇題(每小題6分, 共36分)?cos α??cos β?1．設函數 f (x ) = sin β??+ sin α?， α、β為銳角，如果對任意x ＞0，那么，全國高中數學競賽題？一起來了解一下吧。
2007年全國高中數學聯合競賽加試試題及參考答案 (考試時間：120分鐘滿分150分)一、(本題滿分50分)如圖，在銳角△ABC中，AB A. B. C. D. 2. 空間四點A、B、C、D，滿足 、 、 、 ，則 的取值 A. 只有一個 B. 有兩個 C. 有四個 1. 使關于x的不等式 有解的實數k的最大值是 D. 有無窮多個 3. △ABC內接于單位圓，三個內角A、B、C的平分線交此圓于A1、B1、C1三點，則 的值是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如圖，ABCD－A'B'C'D'為正方體，任作平面α與對角線AC'垂直，使α與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l，則 A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值 5. 方程 表示的曲線是 A. 焦點在x軸上的橢圓 B. 焦點在x軸上的雙曲線 C. 焦點在y軸上的激叢橢圓 D. 焦點在y軸上的雙曲線 6. 記集合 ， ，將M中的元素按從明弊櫻大到小順序排列，則第2005個數是 A. B. C. D. 二、填空題 7. 將多項式 表示為關于y的多項式 ，卜逗且 ，則 =__________。 8. f(x)是定義在(0,+∞)上的減函數，若 成立，則實數a的取值范圍是_____________。 2004年北京市中學生數學競賽試題 2004年南昌市高中數學競賽試題 2004年福建省高一數學競賽試題 2004年湖南省高中數學競賽試題 2004年江西省高中女子數學競賽試題 2004年上海市高中數學競賽試題 2004年全國高中數學聯賽吉林賽區初賽試題 2004年全國高中數學聯賽廣西初賽試題 2004年全國高中數學聯賽四川省初賽試題 2004年全國高中數學聯賽河南省預賽試題 2004年全國高中數學聯賽天津初賽試題 2004年全國高中數學聯賽福建賽區預賽試題 2004年全國高中數學聯賽山東賽區預賽試題 2004年安徽省高中數學競賽初賽試題 首屆中國東鍵攜南地區數學奧林匹克試題 第三屆中國女子數學奧林匹克試題 第四屆中國西部數學奧林匹克試題 2004年全國高中數學聯賽試題 2004年中國數學奧林匹克試題 2004年中國國家集訓隊測試試題 2004年IMO中國國家隊選拔考試試題 2005北京市中學生數學競賽試題（高一年級） 2005年全國高中數學聯賽天津賽區初賽試題 2005年上海市高中數學競賽試題 2005年全國高中數學聯賽江蘇賽區初賽試題 2005年全國高中數學聯賽浙江省預賽試題 2005年全國高中數學聯賽江西省預賽試題 2005年湖南省高中數學競賽試題（高二年級） 2005年全國高中數學聯賽吉林賽區預賽試題 2005年全國高中數學聯賽山東賽區預賽試題 2005年全國高中數學聯賽四川初賽試題 2005年全國高中數學聯賽福建賽區預賽薯神試題 2005年中國數學奧林匹克協作體夏令營測試試題 2005年中國數學奧林匹克協作體夏令營A水平測試題 2005年南昌市高中數學競賽試題 2005年福建省高一數學競賽試題 2005年全數亮虧國高中數學聯賽遼寧賽區初賽試題 2005年河南省數學競賽試題（高二年級） 2005年安徽省高中數學競賽初賽試題 第二屆中國東南地區數學奧林匹克試題 第五屆中國西部數學奧林匹克試題 第四屆中國女子數學奧林匹克試題 2005年北方數學奧林匹克試題 2005年全國高中數學聯合競賽試題 2005年中國數學奧林匹克試題 2005年國家集訓隊測試題 2005年IMO中國國家隊選拔考試試題 高中數學競賽學的知識范圍有平面幾何、代數、初等數論、組合問題。 一、考試內容如下： （友巧頃全國高中數學聯賽一試）所涉及的知識范圍不超出教育部2000年《全日制普通高級中學數學教學大綱》。此外，全國高中數學聯賽（二試）在知識方面有所擴展，適當增加一些教學大綱之外的內容。 二、考試知識點解析： 1、平面幾何 幾個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、費馬點、歐拉線；幾何不等式；幾何極值問題；幾何中的變換：對稱、平移、旋轉；圓的冪和根軸：面積方法，復數方法，向量方法，解析幾何方法 2、代數 周期函數，帶絕對值的函數；三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函數；遞歸，遞歸數列及其性質，一階、二階線性常系數遞歸數列的通項公式；第二數學歸納法；平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函數及其應用；復數及其指數形式、三角形式，歐拉公式，棣莫弗定理，單位根；多項式的除法定理、因式分解定理，多項式的相等，整系數多項式的有理根*，多項式的插值公式*；n次多項式根的個數，根與系數的關系，實系數多項式虛根成對定理；函數迭代，求n次迭代*，簡單的函數方程*。 2011年全國高中數學聯賽江西省預賽 試題 一、填空題（每小題10分，共 分） 、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個． 、設數列 滿足: ,且對于其中任三個連續項 ,都有: .則通項 ． 、以拋物線 上的一點 為直角頂點，作拋物線的兩個內接直角三角形 與 ，則線段 與 的交點 的坐標為． 、設 ，則函數 的最大值是 ． 、 ． 、正三棱錐 的底面邊長為 ，側棱長為 ，過點 作與側棱 都相交的截面 ，那么， 周長的最小值是 ． 、滿足 的一組正整數． 、用 表示正整數 的各位數字之和，則． 二、解答題（共 題，合計 分） 、（20分）、設 ，且滿足： ，求 的值． 、（ 分）如圖， 的內心為 ， 分別是 的中點， ，內切圓 分別與邊 相切于 ；證明禪轎： 三線共點． 、（ 分）在電腦屏幕上給出一個正 邊形，它的頂點分別被涂成黑、白兩色；某程序執行這樣的操作：每次可選中多邊形連續的 個頂點（其中 是小于 的一個固定的正整數），一按鼠標鍵，將會使這 個頂點“黑白顛倒”，即黑點變白，而白點變黑； 、證明：如果 為奇數，則可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成白色，也可以經過有限次這樣的操作，使得所有頂點都變成黑色； 、當 為偶裂襲鍵數時，是否也能經過有限次這樣的操作，使得所有的頂點都變成一色？證明你的結論． 解答 、 ．提示：這種四位數 的個數，就是不定方程 滿足條件 ， 的整解的個數；即 的非負整解個數，其中 ，易知這種解有 個，即總共有 個這樣的四位數．（注：也可直接列舉．） 、 ． 提示：由條件得， ， 所以 ， 故 ，而 ； ； 于是 ； 由此得 . 、 ．提示：設 ，則 ， 直線 方程為 ， 即 ，因為 ，則 ， 即 ， 代人方程得 ， 于是點 在直線 上； 同理，若設 ，則 方程為 ， 即點 也在直線 上，因此交點 的坐標為 ． 、 ．提示：由 所以， ， 即 ， 當 ，即 時取得等號． 、 ．提示： ． 、 ．提示：作三棱錐側面展開圖，易知 ∥ ，且由周長最小，得 共線，于是等腰 ， ， ， 即 ， ， ， 所以 ，由 ，則 ． 、 ．提示：由于 是 形狀的數，所以 必為奇數，而 為偶數， 設 ， ，代人得 ， 即 . ① 而 為偶數，則 為奇數，設 ，則 ， 由①得， ， ② 則 為奇數，且 中恰有一個是 的倍數，當 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ， 即 ，于是 ； 若 ，為使 為奇數，且 ，只有 ，②成為 ，即 ，它無整解； 于是 是唯一解： ． （另外，也可由 為偶數肆巧出發，使 為 的倍數，那么 是 的倍數，故 是 形狀的偶數，依次取 ，檢驗相應的六個數即可．） 、 ．提示：添加自然數 ，這樣并不改變問題性質；先考慮由 到 這一千個數，將它們全部用三位數表示，得到集 ，易知對于每個 ，首位為 的“三位數”恰有 個： ， 這樣，所有三位數的首位數字和為 . 再將 中的每個數 的前兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合仍是 ， 又將 中的每個數 的首末兩位數字互換，成為 ，得到的一千個數的集合也是 ，由此知 ． 今考慮四位數：在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，而在 中，首位（千位）上，共有一千個 ，因此 ； 其次，易算出， . 所以， ． 、由 ， 即 ， 平方得 所以 ， 即 ， 所以 ． 、如圖，設 交于點 ，連 ，由于中位線 ∥ ，以及 平分 ，則 ，所以 ，因 ，得 共圓．所以 ；又注意 是 的內心，則 . 連 ，在 中，由于切線 ，所以 ， 因此 三點共線，即有 三線共點． 、 證明：由于 為質數，而 ，則 ，據裴蜀定理，存在正整數 ，使 , ① 于是當 為奇數時，則①中的 一奇一偶． 如果 為偶數， 為奇數，則將①改寫成： ， 令 ，上式成為 ，其中 為奇數， 為偶數． 總之存在奇數 和偶數 ，使①式成立；據①， ,② 現進行這樣的操作：選取一個點 ，自 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次后，據②知，點 的顏色被改變了奇數次（ 次），從而改變了顏色，而其余所有頂點都改變了偶數次（ 次）狀態，其顏色不變；稱這樣的 次操作為“一輪操作”，由于每一輪操作恰好只改變一個點的顏色，因此，可以經過有限多輪這樣的操作，使所有黑點都變成白點，從而多邊形所有頂點都成為白色；也可以經過有限多輪這樣的操作，使所有白點都變成黑點，從而多邊形所有頂點都成為黑色． 、當 為偶數時，也可以經過有限多次這樣的操作，使得多邊形所有頂點都變成一色．具體說來，我們將有如下結論： 如果給定的正多邊形開初有奇數個黑點、偶數個白點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全黑，而不能變成全白；反之，如果給定的正多邊形開初有奇數個白點、偶數個黑點，則經過有限次操作，可以將多邊形所有頂點變成全白，而不能變成全黑； 為此，采用賦值法：將白點改記為“ ”，而黑點記為“ ”，改變一次顏色，相當于將其賦值乘以 ，而改變 個點的顏色，即相當于乘了 個（偶數個） ，由于 ； 因此當多邊形所有頂點賦值之積為 ，即總共有奇數個黑點，偶數個白點時，每次操作后，其賦值之積仍為 ，因此無論操作多少次，都不能將全部頂點變白． 但此時可以變成全黑，這是由于，對于偶數 ，則①②中的 為奇數，設 是多邊形的兩個相鄰頂點，自點 開始，按順時針方向操作 個頂點，再順時針方向操作接下來的 個頂點……當這樣的操作進行 次后，據②知，點 的顏色被改變了偶數次（ 次），從而顏色不變，而其余所有 個頂點都改變了奇數次（ 次）狀態，即都改變了顏色；再自點 開始，按同樣的方法操作 次后，點 的顏色不變，其余所有 個頂點都改變了顏色；于是，經過上述 次操作后，多邊形恰有 兩個相鄰頂點都改變了顏色，其余所有 個點的顏色不變． 現將這樣的 次操作合并，稱為“一輪操作”；每一輪操作，可以使黑白相鄰的兩點顏色互換，因此經過有限輪操作，總可使同色的點成為多邊形的連續頂點； 于是當多邊形開初總共有偶數個白點時，每一輪操作又可將相鄰兩個白點變成黑點，使得有限輪操作后，多邊形所有頂點都成為黑色． 同理得，如果給定的正多邊形開初總共有奇數個白點、偶數個黑點，經過有限次操作，可以使多邊形頂點變成全白，而不能變成全黑；（只需將黑點賦值為“ ”，白點賦值為“ ”，證法便完全相同）． 以上就是全國高中數學競賽題的全部內容，2011年全國高中數學聯賽江西省預賽 試 題 一、填空題（每小題10分，共 分）、 是這樣的一個四位數，它的各位數字之和為 ；像這樣各位數字之和為 的四位數總共有 個．、。數競生能秒殺高考數學嗎
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