數(shù)學(xué)與猜想？《數(shù)學(xué)與猜想》(第1卷)通過(guò)許多古代著名的猜想，討論了論證方法，闡述了作者的觀(guān)點(diǎn)：不但要學(xué)習(xí)論證推理，也要學(xué)習(xí)合情推理，以豐富人們的科學(xué)思想，提高辯證思維能力，《數(shù)學(xué)與猜想》(第1卷)的例子不僅涉及數(shù)學(xué)各學(xué)科，那么，數(shù)學(xué)與猜想？一起來(lái)了解一下吧。
四色猜想:世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里(Francis Guthrie)來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。”這個(gè)結(jié)論能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和在大學(xué)讀書(shū)的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問(wèn)題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒(méi)有進(jìn)展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問(wèn)題的證明請(qǐng)教他的老師、著名數(shù)學(xué)家德.摩爾根，摩爾根也沒(méi)有能找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，于是寫(xiě)信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密爾頓爵士請(qǐng)教。哈密爾頓接到摩爾根的信后，對(duì)四色問(wèn)題進(jìn)行論證。但直到1865年哈密爾頓逝世為止，問(wèn)題也沒(méi)有能夠解決。
1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。
11年后，即1890年，數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。
世界三大數(shù)學(xué)猜想即費(fèi)馬猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
1、費(fèi)馬猜想的證明于1994年由英國(guó)數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯完成，遂稱(chēng)費(fèi)馬大定理；斷言當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，關(guān)于x, y, z的方程沒(méi)有正整數(shù)解。
2、四色猜想的證明于1976年由美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯借助計(jì)算機(jī)完成，遂稱(chēng)四色定理；四色定理的本質(zhì)是二維平面的固有屬性，即平面內(nèi)不可出現(xiàn)交叉而沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線(xiàn)。
3、哥德巴赫猜想尚未解決，目前最好的成果（陳氏定理）乃于1966年由中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)取得。任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個(gè)素?cái)?shù)的和，或是一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)半素?cái)?shù)的和。
《數(shù)學(xué)與猜想》(第1卷)通過(guò)許多古代著名的猜想，討論了論證方法，闡述了作者的觀(guān)點(diǎn)：不但要學(xué)習(xí)論證推理，也要學(xué)習(xí)合情推理，以豐富人們的科學(xué)思想，提高辯證思維能力，《數(shù)學(xué)與猜想》(第1卷)的例子不僅涉及數(shù)學(xué)各學(xué)科，也涉及到物理學(xué)，全書(shū)內(nèi)容豐富，談古論今，敘述生動(dòng)，能使人看到數(shù)學(xué)中真正的奧妙。全書(shū)共分兩卷，第一卷為數(shù)學(xué)中的歸納和類(lèi)比，第二卷為合情推理模式，此冊(cè)為第一卷，主要講述數(shù)學(xué)中各種合情推理的實(shí)例。《數(shù)學(xué)與猜想》(第1卷)可供大學(xué)數(shù)學(xué)系師生、中學(xué)數(shù)學(xué)教師，數(shù)學(xué)研究人員及數(shù)學(xué)愛(ài)好者閱讀。
作者：(美)G.波利亞 譯者：李心燦 王日爽 李志堯
波利亞，數(shù)學(xué)家、教育家，曾任美國(guó)國(guó)家科學(xué)院、美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院院士，匈牙利科學(xué)院榮譽(yù)院士，倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)、瑞士數(shù)學(xué)會(huì)、美國(guó)工業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)榮譽(yù)會(huì)員，法國(guó)巴黎科學(xué)院通訊院士。出生于匈牙利布達(dá)佩斯，1942年移居美國(guó)。獲布達(dá)佩斯Eotvos Lorand大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位。著有《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題和定理》、《數(shù)學(xué)物理中的等周不等式》等。
很多很多.例如：
1、求：(1/1)^3+(1/2)^3+(1/3)^3+(1/4)^3+(1/5)^3+…+(1/n)^3=?
更一般地：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),
求：(1/1)^k+(1/2)^k+(1/3)^k+(1/4)^k+(1/5)^k+…+(1/n)^k=?
歐拉已經(jīng)求出了：
(1/1)^2+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+(1/5)^2+ … +(1/n)^2=(π^2)/6
并且給出了當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)的表達(dá)式.
于是,于是他提出了上述問(wèn)題.
2、e+π的超越性：
背景：此題為希爾伯特第7問(wèn)題中的一個(gè)特例.
已經(jīng)證明了e^π的超越性,卻至今未有人證明e+π的超越性.
3、素?cái)?shù)問(wèn)題（又稱(chēng)黎曼猜想）.
證明：
ζ(s)=1+(1/2)^s+(1/3)^s+(1/4)^s+(1/5)^s + … ,(s屬于復(fù)數(shù)域)
所定義的函數(shù)ζ(s)的零點(diǎn),除負(fù)整實(shí)數(shù)外,全都具有實(shí)部1/2.
背景：此為希爾伯特第8問(wèn)題.
現(xiàn)已證明：ζ(s)函數(shù)中,前300萬(wàn)個(gè)零點(diǎn)確實(shí)符合猜想.
引申的問(wèn)題是：素?cái)?shù)的表達(dá)公式?素?cái)?shù)的本質(zhì)是什么?
4、 存在奇完全數(shù)嗎?
背景：
所謂完全數(shù),就是等于其因子的和的數(shù).
前三個(gè)完全數(shù)是：
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
目前已知的32個(gè)完全數(shù)全部是偶數(shù).
1973年得到的結(jié)論是如果n為奇完全數(shù),則：
n>10^50
5、 除了8=2^3,9=3^2外,再?zèng)]有兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)可表為其他正整數(shù)的方冪了嗎?
背景：
這是卡塔蘭猜想（1842）.
1962年我國(guó)數(shù)學(xué)家柯召獨(dú)立證明了不存在連續(xù)三個(gè)整數(shù)可表為其它正整數(shù)的方冪.
1976年,荷蘭數(shù)學(xué)家證明了大于某個(gè)數(shù)的任何兩個(gè)正整數(shù)冪都不連續(xù).因此只要檢查小于這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)冪是否有連續(xù)的就行了.
但是,由于這個(gè)數(shù)太大,有500多位,已超出計(jì)算機(jī)的計(jì)算范圍.
所以,這個(gè)猜想幾乎是正確的,但是至今無(wú)人能夠證實(shí).
6、 任給一個(gè)正整數(shù)n,如果n為偶數(shù),就將它變?yōu)閚/2,如果除后變?yōu)槠鏀?shù),則將它乘3加1（即3n+1）.不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,經(jīng)過(guò)有限步后,一定可以得到1嗎?
背景：
這角古猜想（1930）.
人們通過(guò)大量的驗(yàn)算,從來(lái)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反例,但沒(méi)有人能證明.
三 希爾伯特23問(wèn)題里尚未解決的問(wèn)題.
1、問(wèn)題1連續(xù)統(tǒng)假設(shè).
全體正整數(shù)（被稱(chēng)為可數(shù)集）的基數(shù) 和實(shí)數(shù)集合（被稱(chēng)為連續(xù)統(tǒng)）的基數(shù)c之間沒(méi)有其它基數(shù).
背景：1938年奧地利數(shù)學(xué)家哥德?tīng)栕C明此假設(shè)在集合論公理,即策莫羅-佛朗克爾公理里,不可證偽.
1963年美國(guó)數(shù)學(xué)家柯恩證明在該公理,不能證明此假設(shè)是對(duì)的.
所以,至今未有人知道,此假設(shè)到底是對(duì)還是錯(cuò).
2、問(wèn)題2 算術(shù)公理相容性.
背景：哥德?tīng)栕C明了算術(shù)的不完備,使希爾伯特的用元數(shù)學(xué)證明算術(shù)公理的無(wú)矛盾性的想法破滅.
3、 問(wèn)題7 某些數(shù)的無(wú)理性和超越性.
見(jiàn)上面 二 的 2
5、 問(wèn)題 8 素?cái)?shù)問(wèn)題.
見(jiàn)上面 二 的 3
6、 問(wèn)題 11 系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型.
背景：德國(guó)和法國(guó)數(shù)學(xué)家在60年代曾取得重大進(jìn)展.
7、 問(wèn)題 12 阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理在任意代數(shù)有理域上的推廣.
背景：此問(wèn)題只有些零散的結(jié)果,離徹底解決還十分遙遠(yuǎn).
8、 問(wèn)題13 僅用二元函數(shù)解一般7次代數(shù)方程的不可能性.
背景：1957蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家解決了連續(xù)函數(shù)情形.如要求是解析函數(shù)則此問(wèn)題尚未完全解決.
9、 問(wèn)題15 舒伯特計(jì)數(shù)演算的嚴(yán)格基礎(chǔ).
背景： 代數(shù)簌交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.和代數(shù)幾何學(xué)有關(guān).
10、 問(wèn)題 16 代數(shù)曲線(xiàn)和曲面的拓?fù)?
要求代數(shù)曲線(xiàn)含有閉的分枝曲線(xiàn)的最大數(shù)目.和微分方程的極限環(huán)的最多個(gè)數(shù)和相對(duì)位置.
11、 問(wèn)題 18 用全等多面體來(lái)構(gòu)造空間.
無(wú)限個(gè)相等的給定形式的多面體最緊密的排列問(wèn)題,現(xiàn)在仍未解決.
12、 問(wèn)題 20 一般邊值問(wèn)題.
偏微分方程的邊值問(wèn)題,正在蓬勃發(fā)展.
13、 問(wèn)題 23 變分法的進(jìn)一步發(fā)展.
四 千禧七大難題
2000年美國(guó)克雷數(shù)學(xué)促進(jìn)研究所提出.為了紀(jì)念百年前希爾伯特提出的23問(wèn)題.每一道題的賞金均為百萬(wàn)美金.
1、 黎曼猜想.
見(jiàn) 二 的 3
透過(guò)此猜想,數(shù)學(xué)家認(rèn)為可以解決素?cái)?shù)分布之謎.
這個(gè)問(wèn)題是希爾伯特23個(gè)問(wèn)題中還沒(méi)有解決的問(wèn)題.透過(guò)研究黎曼猜想數(shù)
學(xué)家們認(rèn)為除了能解開(kāi)質(zhì)數(shù)分布之謎外,對(duì)於解析數(shù)論、函數(shù)理論、
橢圓函數(shù)論、群論、質(zhì)數(shù)檢驗(yàn)等都將會(huì)有實(shí)質(zhì)的影響.
2、楊-密爾斯理論與質(zhì)量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年楊振寧與密爾斯提出楊-密爾斯規(guī)范理論,楊振寧由
數(shù)學(xué)開(kāi)始,提出一個(gè)具有規(guī)范性的理論架構(gòu),后來(lái)逐漸發(fā)展成為量子
物理之重要理論,也使得他成為近代物理奠基的重要人物.
楊振寧與密爾斯提出的理論中會(huì)產(chǎn)生傳送作用力的粒子,而他們
碰到的困難是這個(gè)粒子的質(zhì)量的問(wèn)題.他們從數(shù)學(xué)上所推導(dǎo)的結(jié)果
是,這個(gè)粒子具有電荷但沒(méi)有質(zhì)量.然而,困難的是如果這一有電荷
的粒子是沒(méi)有質(zhì)量的,那麼為什麼沒(méi)有任何實(shí)驗(yàn)證據(jù)呢?而如果假定
該粒子有質(zhì)量,規(guī)范對(duì)稱(chēng)性就會(huì)被破壞.一般物理學(xué)家是相信有質(zhì)
量,因此如何填補(bǔ)這個(gè)漏洞就是相當(dāng)具挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題.
3、P 問(wèn)題對(duì)NP 問(wèn)題(The P Versus NP Problems)
隨著計(jì)算尺寸的增大,計(jì)算時(shí)間會(huì)以多項(xiàng)式方式增加的型式的問(wèn)題叫做「P 問(wèn)題」.
P 問(wèn)題的P 是Polynomial Time(多項(xiàng)式時(shí)間)的頭一個(gè)字母.已
知尺寸為n,如果能決定計(jì)算時(shí)間在cnd (c 、d 為正實(shí)數(shù)) 時(shí)間以下
就可以或不行時(shí),我們就稱(chēng)之為「多項(xiàng)式時(shí)間決定法」.而能用這個(gè)
算法解的問(wèn)題就是P 問(wèn)題.反之若有其他因素,例如第六感參與進(jìn)來(lái)
的算法就叫做「非決定性算法」,這類(lèi)的問(wèn)題就是「NP 問(wèn)題」,NP 是
Non deterministic Polynomial time (非決定性多項(xiàng)式時(shí)間)的縮寫(xiě).
由定義來(lái)說(shuō),P 問(wèn)題是NP 問(wèn)題的一部份.但是否NP 問(wèn)題里面有
些不屬於P 問(wèn)題等級(jí)的東西呢?或者NP 問(wèn)題終究也成為P 問(wèn)題?這
就是相當(dāng)著名的PNP 問(wèn)題.
4、.納維爾–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因?yàn)橛壤匠烫^(guò)簡(jiǎn)化所以尋求作修正,在修正的過(guò)程中產(chǎn)生了
新的結(jié)果.法國(guó)工程師納維爾及英國(guó)數(shù)學(xué)家史托克經(jīng)過(guò)了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)
推導(dǎo),將黏性項(xiàng)也考慮進(jìn)去得到的就是納維爾–史托克方程.
自從西元1943 年法國(guó)數(shù)學(xué)家勒雷（Leray）證明了納維爾–史托
克方程的全時(shí)間弱解(global weak solution)之后,人們一直想知道
的是此解是否唯一?得到的結(jié)果是：如果事先假設(shè)納維爾–史托克方
程的解是強(qiáng)解(strong solution),則解是唯一.所以此問(wèn)題變成:弱解與強(qiáng)解之間的差距有多大,有沒(méi)有可能弱解會(huì)等於強(qiáng)解?換句話(huà)說(shuō),是不是能得到納維爾–史托克方程的全時(shí)間平滑解?再者就是證
明其解在有限時(shí)間內(nèi)會(huì)爆掉(blow up in finite time).
解決此問(wèn)題不僅對(duì)數(shù)學(xué)還有對(duì)物理與航太工程有貢獻(xiàn),特別是亂
流(turbulence)都會(huì)有決定性的影響,另外納維爾–史托克方程與奧
地利偉大物理學(xué)家波茲曼的波茲曼方程也有密切的關(guān)系,研究納維
爾–史托克（尤拉）方程與波茲曼方程（Boltzmann Equations）兩
者之關(guān)系的學(xué)問(wèn)叫做流體極限(hydrodynamics limit),由此可見(jiàn)納
維爾–史托克方程本身有非常豐富之內(nèi)涵.
5.龐加萊臆測(cè)(Poincare Conjecture)
龐加萊臆測(cè)是拓樸學(xué)的大問(wèn)題.用數(shù)學(xué)界的行話(huà)來(lái)說(shuō)：?jiǎn)芜B通的
三維閉流形與三維球面同胚.
從數(shù)學(xué)的意義上說(shuō)這是一個(gè)看似簡(jiǎn)單卻又非
常困難的問(wèn)題,自龐加萊在西元1904 年提出之
后,吸引許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家投入這個(gè)研究主題.
龐加萊（圖4）臆測(cè)提出不久,數(shù)學(xué)們自然的將
之推廣到高維空間(n4),我們稱(chēng)之為廣義龐加萊臆測(cè)：?jiǎn)芜B通的
≥
n(n4)維閉流形,如果與n
≥ 維球面有相同的基本群(fundamental group)則必與n維球面同胚.
經(jīng)過(guò)近60 年后,西元1961 年,美國(guó)數(shù)學(xué)家斯麥爾（Smale）以
巧妙的方法,他忽略三維、四維的困難,直接證明五維(n5)以上的
≥
廣義龐加萊臆測(cè),他因此獲得西元1966 年的費(fèi)爾茲獎(jiǎng).經(jīng)過(guò)20年之
后,另一個(gè)美國(guó)數(shù)學(xué)家佛瑞曼（Freedman）則證明了四維的龐加萊臆
測(cè),并於西元1986年因?yàn)檫@個(gè)成就獲得費(fèi)爾茲獎(jiǎng).但是對(duì)於我們真
正居住的三維空間(n3),在當(dāng)時(shí)仍然是一個(gè)未解之謎.
=
一直到西元2003 年4 月,俄羅斯數(shù)學(xué)家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工學(xué)院做了三場(chǎng)演講,在會(huì)中他回答了許多數(shù)學(xué)家的疑問(wèn),許
多跡象顯示斐雷曼可能已經(jīng)破解龐加萊臆測(cè).數(shù)天后「紐約時(shí)報(bào)」首
次以「俄國(guó)人解決了著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題」為題向公眾披露此一消息.同
日深具影響力的數(shù)學(xué)網(wǎng)站MathWorld 刊出的頭條文章為「龐加萊臆測(cè)
被證明了,這次是真的!」[14].
數(shù)學(xué)家們的審查將到2005年才能完成,到目前為止,尚未發(fā)現(xiàn)
斐雷曼無(wú)法領(lǐng)取克雷數(shù)學(xué)研究所之百萬(wàn)美金的漏洞.
6.白之與斯溫納頓-戴爾臆測(cè)（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的橢圓曲線(xiàn)方程式 y^2=x^3+ax+b ,在計(jì)算橢圓之弧長(zhǎng)時(shí)
就會(huì)遇見(jiàn)這種曲線(xiàn).自50 年代以來(lái),數(shù)學(xué)家便發(fā)現(xiàn)橢圓曲線(xiàn)與數(shù)論、
幾何、密碼學(xué)等有著密切的關(guān)系.例如：懷爾斯（Wiles）證明費(fèi)馬
最后定理,其中一個(gè)關(guān)鍵步驟就是用到橢圓曲線(xiàn)與模形式(modularform)之關(guān)系－即谷山-志村猜想,白之與斯溫納頓-戴爾臆測(cè)就是與
橢圓曲線(xiàn)有關(guān).
60年代英國(guó)劍橋大學(xué)的白之與斯溫納頓-戴爾利用電腦計(jì)算一些
多項(xiàng)式方程式的有理數(shù)解.通常會(huì)有無(wú)窮多解,然而要如何計(jì)算無(wú)限
呢?其解法是先分類(lèi),典型的數(shù)學(xué)方法是同余(congruence)這個(gè)觀(guān)念
并藉此得同余類(lèi)(congruence class)即被一個(gè)數(shù)除之后的余數(shù),無(wú)窮
多個(gè)數(shù)不可能每個(gè)都要.數(shù)學(xué)家自然的選擇了質(zhì)數(shù),所以這個(gè)問(wèn)題與
黎曼猜想之Zeta 函數(shù)有關(guān).經(jīng)由長(zhǎng)時(shí)間大量的計(jì)算與資料收集,他
們觀(guān)察出一些規(guī)律與模式,因而提出這個(gè)猜測(cè).他們從電腦計(jì)算之結(jié)
果斷言：橢圓曲線(xiàn)會(huì)有無(wú)窮多個(gè)有理點(diǎn),若且唯若附於曲線(xiàn)上面的
Zeta 函數(shù)ζ (s) = 時(shí)取值為0,即ζ (1)
；當(dāng)s1= 0
7.霍奇臆測(cè)(Hodge Conjecture)
「任意在非奇異投影代數(shù)曲體上的調(diào)和微分形式,都是代數(shù)圓之
上同調(diào)類(lèi)的有理組合.」
最后的這個(gè)難題,雖不是千禧七大難題中最困難的問(wèn)題,但卻可
能是最不容易被一般人所了解的.因?yàn)槠渲杏刑喔呱顚?zhuān)業(yè)而且抽象
參考資料：《數(shù)學(xué)的100個(gè)基本問(wèn)題》《數(shù)學(xué)與文化》《希爾伯特23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題回顧
以上就是數(shù)學(xué)與猜想的全部?jī)?nèi)容，作者：(美)G.波利亞 譯者：李心燦 王日爽 李志堯波利亞，數(shù)學(xué)家、教育家，曾任美國(guó)國(guó)家科學(xué)院、美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)學(xué)院院士，匈牙利科學(xué)院榮譽(yù)院士，倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)、瑞士數(shù)學(xué)會(huì)、美國(guó)工業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)榮譽(yù)會(huì)員。
