pp2數(shù)學解析，數(shù)學分析

數(shù)學
2023-06-04

目錄
數(shù)學題
數(shù)學一
六年級數(shù)學
數(shù)學分析
六年級數(shù)學上冊

數(shù)學題

向量的來源

[編輯本段]

規(guī)定了方向和大小的量稱為向量．向量又稱為矢量，最初被應用于物理學．很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到．“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓．

向量的由來

向量又稱為矢量，最初被應用于物理學．很多物理量如力、速度、位移以及電場強度、磁感應強度等都是向量．大約公元前350年前，古希臘著名學者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來得到．“向量”一詞來自力學、解析幾何中的有向線段．最先使用有向線段表示向量的是英國大科學家牛頓．

課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向．但是在高等數(shù)學中還有更廣泛的向量．例如，把所有實系數(shù)多項式的全體看成一個多項式空間，這里的多項式都可看成一個向量．在這種情況下，要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學搜耐對象或物理對象．這樣，就可以指導線性代數(shù)方法應用到廣闊的自然科學領域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學的各領域中得到了廣泛的應用．而向量及其線性運算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個具體的模型．

從數(shù)學發(fā)展史來看，歷史上很長一段時間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學家們所認識，直到19世紀末20世紀初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運算聯(lián)系起來，使向量成為具有一套優(yōu)良運算通性的數(shù)學體系．

向量能夠進入數(shù)學并得到發(fā)展，首先應從復數(shù)的幾何表示談起．18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù)a＋bi，并利用具有幾何意義的復數(shù)運算來定義向量的運算．把坐標平面上的點用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．世前春人們逐步接受了復數(shù)，也學會了利用復數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數(shù)學．

但復數(shù)的利用是受限制的，因為它僅能悔空用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復數(shù)”以及相應的運算體系．19世紀中期，英國數(shù)學家漢密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量．他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎．隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國的數(shù)學物理學家麥克思韋爾把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析．

三維向量分析的開創(chuàng)，以及同四元數(shù)的正式分裂，是英國的居伯斯和海維塞德于19世紀8O年代各自獨立完成的．他們提出，一個向量不過是四元數(shù)的向量部分，但不獨立于任何四元數(shù)．他們引進了兩種類型的乘法，即數(shù)量積和向量積．并把向量代數(shù)推廣到變向量的向量微積分．從此，向量的方法被引進到分析和解析幾何中來，并逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數(shù)學.

向量的運用

[編輯本段]

在數(shù)學中，我們通常用點表示位置，用射線表示方向．在平面內(nèi)，從任一點出發(fā)的所有射線，可以分別用來表示平面內(nèi)的各個方向

向量的表示向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．

向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示．

向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)，記作|a|長度為0的向量叫做零向量，記作0．長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量．

平行向量與相等向量

[編輯本段]

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a、b、c平行，記作a‖b‖c．0向量長度為零，是起點與終點重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定0與任一向量平行．

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a=b．零向量與零向量相等．任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．

向量的運算

[編輯本段]

1、向量的加法：

AB+BC=AC

設a=（x,y） b=(x',y')

則a+b=(x+x',y+y')

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

向量加法的性質(zhì)：

交換律：

a+b=b+a

結(jié)合律：

(a+b)+c=a+(b+c)

a+0=0+a=a

2、向量的減法

AB-AC=CB

a-b=(x-x',y-y')

若a//b

則a=eb

則xy`-x`y=0

若a垂直b

則ab=0

則xx`+yy`=0

3、向量的乘法

設a=（x,y） b=(x',y')

a·b(點積）=x·x'+y·y'=|a|·|b|*cos夾角

設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數(shù) λ，使向量p1p=λ向量pp2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)

x=(x1+λx2)/(1+λ)

則有｛

y=(y1+λy2)/(1+λ)

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

4、數(shù)乘向量

實數(shù)∮和向量a的乘積是一個向量，記作∮a，且∣∮a∣=∣∮∣*∣a∣,當∮＞0時，與a同方向；當∮＜0時，與a反方向。

實數(shù)∮叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量的幾何意義時把向量a沿著的方向或反方向放大或縮小。

課本上討論的向量是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，總可以畫出箭頭表示方向．但是在高等數(shù)學中還有更廣泛的向量．例如，把所有實系數(shù)多項式的全體看成一個多項式空間，這里的多項式都可看成一個向量．在這種情況下，要找出起點和終點甚至畫出箭頭表示方向是辦不到的．這種空間中的向量比幾何中的向量要廣泛得多，可以是任意數(shù)學對象或物理對象．這樣，就可以指導線性代數(shù)方法應用到廣闊的自然科學領域中去了．因此，向量空間的概念，已成了數(shù)學中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學的各領域中得到了廣泛的應用．而向量及其線性運算也為“向量空間”這一抽象的概念提供出了一個具體的模型．

向量能夠進入數(shù)學并得到發(fā)展，首先應從復數(shù)的幾何表示談起．18世紀末期，挪威測量學家威塞爾首次利用坐標平面上的點來表示復數(shù)a＋bi，并利用具有幾何意義的復數(shù)運算來定義向量的運算．把坐標平面上的點用向量表示出來，并把向量的幾何表示用于研究幾何問題與三角問題．人們逐步接受了復數(shù)，也學會了利用復數(shù)來表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進入了數(shù)學．

但復數(shù)的利用是受限制的，因為它僅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復數(shù)”以及相應的運算體系．19世紀中期，英國數(shù)學家漢密爾頓發(fā)明了四元數(shù)（包括數(shù)量部分和向量部分），以代表空間的向量．他的工作為向量代數(shù)和向量分析的建立奠定了基礎．隨后，電磁理論的發(fā)現(xiàn)者，英國的數(shù)學物理學家麥克思韋爾把四元數(shù)的數(shù)量部分和向量部分分開處理，從而創(chuàng)造了大量的向量分析．