目錄初二因式分解題20道 八年級上冊數(shù)學(xué)因式分解思維導(dǎo)圖 八年級上冊數(shù)學(xué)因式分解教學(xué) 初二因式分解10個典型題 初二因式分解的格式
因返派塵式分解就是把一個多項(xiàng)式化為幾個整式的積的形式。羨拿因式分解的方法有很多，基本上有這幾類:
平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2;
提公因式法:-am+bm+cm=-m(a-b-c);
還有幾種比較特別的
十字相乘法:x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
拆項(xiàng)、添項(xiàng)法:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
配方法:x^2+2x-3
=x^2+2x+1-4
=(x+1)^2-4
=(x+1+2)(x+1-2)
=(x+3)(x-1)
差不多啦!要有還不懂得!可以再問!(上面的部分字母可漏禪以帶入數(shù)字)
因式分解：弄清公式，多做些題會慢慢熟悉。分解因式無非就是提公因式法、平方差法、完全平方式。
提公因式法弄清則族慶定義，只要穗桐一個式子中有公共的因式，那就提出來公因式，再將每一項(xiàng)除以提出來的公因式。然孫握后再把所得的和簡單化。就是乘法分配率逆運(yùn)用。平方差法：只要是形式如兩個式子的平方的差，就用此方法。完全平方公式：就是完全平方的逆運(yùn)用。只要弄清完全平方的形式就可以掌握此方法。
切記-----還是多練題。
解(1) 16a^4-b^4 ^表示乘方
=(4a2)2-(b2)2
=(4a2+b2大老)(4a2-b2)
=(4a2+b2)(2a+b)(2a-b)
解(2) a2(m-n)+b2滾逗升(n-m)
=a2(m-n)-b2(m-n)
=(m-n)(a2-b2)
=(m-n)(a+b)(a-b)
解(3) 3(a+1)2-75(a-4)2
=3[(a+1)2-25(a-4)2]
=3﹛(a+1)2-[5(a-4)]2﹜
=3[(a+1)+5(a-4)][(a+1)-5(a-4)]
=3(a+1+5a-20)(a+1-5a+20)
=3(6a-19)(-4a+21)
=-3(6a-19)(4a-21)
解指衡(4) a^(2n+1)-16a^(2n-1)
=[a^(2n-1)]×(a2-16)
=[a^(2n-1)](a+4)(a-4)
解(5)9(a-b)2-25(a+b)2
=[3(a-b)]2-[5(a+b)]2
=[3(a-b)+5(a+b)][(3(a-b)-5(a+b)]
=(3a-3b+5a+5b)(3a-3b-5a-5b)
=(8a+2b)(-2a-8b)
= -4(4a+b)(a+4b)
1.a^4-4a+3
2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n
3.x^2+(a+1/a)xy+y^2
4.9a^2-4b^2+4bc-c^2
5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)
答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3)
2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1]
3.(ax+y)(1/ax+y)
4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c)
5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b)
= (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc)
=c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc
=c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc
=(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b)
=(a-2b-c)^2
1.x^2+2x-8
2.x^2+3x-10
3.x^2-x-20
4.x^2+x-6
5.2x^2+5x-3
6.6x^2+4x-2
7.x^2-2x-3
8.x^2+6x+8
9.x^2-x-12
10.x^2-7x+10
11.6x^2+x+2
12.4x^2+4x-3
解方程：（x的平方+5x-6）分之一=（x的平方+x+6）分之一
十字相乘法雖然比較難學(xué),但是一旦學(xué)會了它,用它來解題,會給我們帶來很多方便,以下是我對十字相乘法提出的一些個人見解。
1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一戚遲宏次項(xiàng)系數(shù)。
2、十字相乘法的用處：（1）用十字相乘法來分解因式。（2）用十字相乘法來解一元二次方程。
3、十字相乘法的優(yōu)點(diǎn)：用十字相乘法來解題的速度比較快，能夠節(jié)約時(shí)間，而且運(yùn)用算量不大，不容易出錯。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些題目用十字相乘法來解比較簡單，但并不是每一道題用十字相乘法來解都簡單。2、十字相乘法只適用于二次三項(xiàng)式類型的題目。3、十字相乘法比較難學(xué)。
5、十字相乘法解題實(shí)例：
1)、 用十字相乘法解一些簡單常見的題目
例1把m2+4m-12分解因式
分析：本題中常數(shù)項(xiàng)-12可以分為-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1當(dāng)-12分成-2×6時(shí)，才符合本題
解：因?yàn)?1 -2
1 ╳ 6
所以m2+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x2+6x-8分解因式
分析：本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)分為1×5，常數(shù)項(xiàng)分為-4×2時(shí)，才符合本題
解： 因?yàn)?1 2
5 ╳ -4
所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程高冊x2-8x+15=0
分析：把x2-8x+15看成關(guān)于x的一個二次三項(xiàng)式，則15可分成1×15，3×5。
解： 因?yàn)?1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可變形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x2-5x-25=0
分析：把6x2-5x-25看成一個關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，則6可以分為1×6，2×3，-25可以分成旦型-1×25，-5×5，-25×1。
解： 因?yàn)?2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可變形成（2x-5）（3x+5）=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比較難的題目
例5把14x2-67xy+18y2分解因式
分析：把14x2-67xy+18y2看成是一個關(guān)于x的二次三項(xiàng)式,則14可分為1×14,2×7, 18y2可分為y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因?yàn)?2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式
分析：在本題中，要把這個多項(xiàng)式整理成二次三項(xiàng)式的形式
解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3
=10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3
7y ╳ -1
=10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）
5 ╳ 4y - 3
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
說明：在本題中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-3
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y
=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y
=（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1
5 x - 4y ╳ -3
說明:在本題中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解為（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解為[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].
例7：解關(guān)于x方程：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0
分析：2a2–ab-b2可以用十字相乘法進(jìn)行因式分解
解：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0
x2- 3ax +（2a2–ab - b2）=0
x2- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b
2 ╳ +b
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）
1 ╳ -（a-b）
所以 x1=2a+b x2=a-b
5-7(a+1)-6(a+1)^2
=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]
=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]
=-(2a+1)(3a+8);
-4x^3 +6x^2 -2x
=-2x(2x^2-3x+1)
=-2x(x-1)(2x-1);
6(y-z)^2 +13(z-y)+6
=6(z-y)^2+13(z-y)+6
=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]
=(2z-2y+3)(3z-3y+2).
比如...x^2+6x-7這個式子
由于一次冪x前系數(shù)為6
所以，我們可以想到，7-1=6
那正好這個式子的常數(shù)項(xiàng)為-7
因此我們想到將-7看成7*（-1）
于是我們作十字相成
x +7
x -1
的到（x+7）·（x-1）
成功分解了因式
3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2
=3ab^2(1-3a+2a^2)
=3ab^2(2a^2-3a+1)
=3ab^2(2a-1)(a-1)
5-7(a+1)-6(a+1)^2
=-[6(a+1)^2+7(a+1)-5]
=-[2(a+1)-1][3(a+1)+5]
=-(2a+1)(3a+8);
-4x^3 +6x^2 -2x
=-2x(2x^2-3x+1)
=-2x(x-1)(2x-1);
6(y-z)^2 +13(z-y)+6
=6(z-y)^2+13(z-y)+6
=[2(z-y)+3][3(z-y)+2]
=(2z-2y+3)(3z-3y+2).
比如...x^2+6x-7這個式子
由于一次冪x前系數(shù)為6
所以，我們可以想到，7-1=6
那正好這個式子的常數(shù)項(xiàng)為-7
因此我們想到將-7看成7*（-1）
于是我們作十字相成
x +7
x -1
的到（x+7）·（x-1）
成功分解了因式
3ab^2-9a^2b^2+6a^3b^2
=3ab^2(1-3a+2a^2)
=3ab^2(2a^2-3a+1)
=3ab^2(2a-1)(a-1)
x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)．
⑹十字相乘法
這種方法有兩種情況。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
②kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
圖示如下：
a b
×
c d
例如：因?yàn)?
1 -3
×
7 2
-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3)．
十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中
⑶分組分解法
分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學(xué)習(xí)這個知識。
能分組分解的方程有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
比如：
ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。
同樣，這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題：
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕松解出。
2. x3-x2+x-1
解法：=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合輕松解決。
3. x2-x-y2-y
解法：=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y+1)
利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。
7582—2582 =(758+258)(758-258)=1016*500=508000
還有，
1．若(2x)n?81 = (4x2+9)(2x+3)(2x?3)，那么n的值是()
A．2 B． 4 C．6D．8
2．若9x2?12xy+m是兩數(shù)和的平方式，那么m的值是()
A．2y2 B．4y 2 C．±4y2D．±16y2
3．把多項(xiàng)式a4? 2a2b2+b4因式分解的結(jié)果為()
A．a(chǎn)2(a2?2b2)+b4 B．(a2?b2)2
C．(a?b)4D．(a+b)2(a?b)2
4．把(a+b)2?4(a2?b2)+4(a?b)2分解因式為()
A．( 3a?b)2B．(3b+a)2
C．(3b?a)2 D．( 3a+b)2
5．計(jì)算：(?)2001+(?)2000的結(jié)果為()
A．(?)2003 B．?(?)2001
C． D．?
6．已知x，y為任意有理數(shù)，記M = x2+y2，N = 2xy，則M與N的大小關(guān)系為()
A．M>NB．M≥NC．M≤ND．不能確定
7．對于任何整數(shù)m，多項(xiàng)式( 4m+5)2?9都能()
A．被8整除 B．被m整除
C．被(m?1)整除 D．被(2n?1)整除
8．將?3x2n?6xn分解因式，結(jié)果是()
A．?3xn(xn+2) B．?3(x2n+2xn)
C．?3xn(x2+2) D．3(?x2n?2xn)
9．下列變形中，是正確的因式分解的是()
A． 0.09m2?n2 = ( 0.03m+)( 0.03m?)
B．x2?10 = x2?9?1 = (x+3)(x?3)?1
C．x4?x2 = (x2+x)(x2?x)
D．(x+a)2?(x?a)2 = 4ax
10．多項(xiàng)式(x+y?z)(x?y+z)?(y+z?x)(z?x?y)的公因式是()
A．x+y?zB．x?y+zC．y+z?xD．不存在
11．已知x為任意有理數(shù)，則多項(xiàng)式x?1?x2的值()
A．一定為負(fù)數(shù)
B．不可能為正數(shù)
C．一定為正數(shù)
D．可能為正數(shù)或負(fù)數(shù)或零
二、解答題：
分解因式：
(1)(ab+b)2?(a+b)2
(2)(a2?x2)2?4ax(x?a)2
(3)7xn+1?14xn+7xn?1(n為不小于1的整數(shù))
答案：
一、選擇題：
1．B 說明：右邊進(jìn)行整式乘法后得16x4?81 = (2x)4?81，所以n應(yīng)為4，答案為B．
2．B 說明：因?yàn)?x2?12xy+m是兩數(shù)和的平方式，所以可設(shè)9x2?12xy+m = (ax+by)2，則有9x2?12xy+m = a2x2+2abxy+b2y2，即a2 = 9，2ab = ?12，b2y2 = m；得到a = 3，b = ?2；或a = ?3，b = 2；此時(shí)b2 = 4，因此，m = b2y2 = 4y2，答案為B．
3．D說明：先運(yùn)用完全平方公式，a4? 2a2b2+b4 = (a2?b2)2，再運(yùn)用兩數(shù)和的平方公式，兩數(shù)分別是a2、?b2，則有(a2?b2)2 = (a+b)2(a?b)2，在這里，注意因式分解要分解到不能分解為止；答案為D．
4．C 說明：(a+b)2?4(a2?b2)+4(a?b)2 = (a+b)2?2(a+b)[2(a?b)]+[2(a?b)]2 = [a+b?2(a?b)]2 = (3b?a)2；所以答案為C．
5．B 說明：(?)2001+(?)2000 = (?)2000[(?)+1] = ()2000 ?= ()2001 = ?(?)2001，所以答案為B．
6．B 說明：因?yàn)镸?N = x2+y2?2xy = (x?y)2≥0，所以M≥N．
7．A 說明：( 4m+5)2?9 = ( 4m+5+3)( 4m+5?3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．
8．A
9．D說明：選項(xiàng)A，0.09 = 0.32，則 0.09m2?n2 = ( 0.3m+n)( 0.3m?n)，所以A錯；選項(xiàng)B的右邊不是乘積的形式；選項(xiàng)C右邊(x2+x)(x2?x)可繼續(xù)分解為x2(x+1)(x?1)；所以答案為D．
10．A 說明：本題的關(guān)鍵是符號的變化：z?x?y = ?(x+y?z)，而x?y+z≠y+z?x，同時(shí)x?y+z≠?(y+z?x)，所以公因式為x+y?z．
11．B 說明：x?1?x2 = ?(1?x+x2) = ?(1?x)2≤0，即多項(xiàng)式x?1?x2的值為非正數(shù)，正確答案應(yīng)該是B．
二、解答題：
(1) 答案：a(b?1)(ab+2b+a)
說明：(ab+b)2?(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b?a?b) = (ab+2b+a)(ab?a) = a(b?1)(ab+2b+a)．
(2) 答案：(x?a)4
說明：(a2?x2)2?4ax(x?a)2
= [(a+x)(a?x)]2?4ax(x?a)2
= (a+x)2(a?x)2?4ax(x?a)2
= (x?a)2[(a+x)2?4ax]
= (x?a)2(a2+2ax+x2?4ax)
= (x?a)2(x?a)2 = (x?a)4．
(3) 答案：7xn?1(x?1)2
說明：原式 = 7xn?1 ?x2?7xn?1 ?2x+7xn?1 = 7xn?1(x2?2x+1) = 7xn?1(x?1)2．
因式分解定義：把一個多項(xiàng)式化為乘積形式的變形成為把這個多項(xiàng)式因式分解。
公因式定義：一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的慎宏單項(xiàng)式，稱為這個多項(xiàng)式的公因式。
分解因式的方法：
1、提公因式法。
一般的，茄孝吵如果顫侍一個多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。用字母表示為ma+mb+mc=m(a+b+c)
2、公式法分解因式。
1）、平方差公式分解因式
兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的積。用字母表示為a2-b2=(a+b)(a-b)
2)、完全平方公式分解因式
兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)積的兩倍等于這兩個數(shù)的平方。用字母表示為a2±2ab+b2
總的知識點(diǎn)就是這些咯。
累死我了……！
