卡特蘭數(shù)與高中數(shù)學(xué)？1.卡特蘭數(shù)是一種數(shù)列，以比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭命名。2.卡特蘭數(shù)列：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012……將遞推公式【1】轉(zhuǎn)化成給定N個(gè)節(jié)點(diǎn)，那么，卡特蘭數(shù)與高中數(shù)學(xué)？一起來(lái)了解一下吧。
卡特蘭數(shù)又稱卡塔蘭數(shù),是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)常出現(xiàn)在各種計(jì)數(shù)問(wèn)題中出現(xiàn)的數(shù)列.由以告慎比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名.
令h(1)＝1,h(0)=1,
catalan數(shù)滿足遞歸式：
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ...+ h(n-1)h(0) (其中n>=2)
另類遞歸式螞備：襪物敬
h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
該遞推關(guān)系的解為：
h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)
用給定節(jié)點(diǎn)組成二叉樹(shù)的問(wèn)題
給定N個(gè)節(jié)點(diǎn),能構(gòu)成多少種不同的二叉樹(shù)?（能構(gòu)成h（N）個(gè)）
有兩種方法可以證明an+（1/an）大于等于2，如下：
算法一：
an必須大于0，根據(jù)a+b大于等于二倍的根號(hào)下ab,
把a(bǔ)n看成a , 把1/an看成b,
故an+（1/an）大于等于二倍的根號(hào)下an乘以1/an，等于2
即得出an+（1/an）大于等于2
算法二：
∵數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an-3， ∴an+1-3=2（an-3），a1-3=-2， ∴an+1?3 an?3 ＝2
∴{an-3}是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列， ∴an?3＝(?2)?2n?1＝?2n， ∴an＝3?2n．
擴(kuò)展資料：
算法一運(yùn)用的灶檔孫是基本不等式的思想，基本不等式是主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明的不等式。其表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù)。具體內(nèi)容如下：
公式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
其中稱為的算術(shù)平均數(shù)，蠢山稱為的幾何平均數(shù)。
變形得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。
算法二運(yùn)用的是數(shù)列的思想，數(shù)列（sequence of number）是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，隱鏈?zhǔn)且涣杏行虻臄?shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)），排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，以此類推，排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，通常用an表示。
∵數(shù)列{an}中，羨旦a1=1，an+1=2an-3， ∴an+1-3=2（an-3），鄭前a1-3=-2， ∴an+1?3 an?3 ＝2， ∴喊派清{an-3}是首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列， ∴an?3＝(?2)?2n?1＝?2n， ∴an＝3?2n．故選：C．
含有4個(gè)元素各不相同的節(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)，共有14種。
只要畫(huà)出所有含有4個(gè)節(jié)點(diǎn)的二叉樹(shù)，對(duì)每一個(gè)二叉樹(shù)，對(duì)它進(jìn)行中序遍歷時(shí)，按4個(gè)元素值升序的序列進(jìn)行填入，所得的二叉樹(shù)，就是一種所求的二叉態(tài)碰盯排序樹(shù)，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)數(shù)較少，所以可以窮舉畫(huà)出，共有14種。
當(dāng)元素個(gè)數(shù)為0，1，2，3，......時(shí)相應(yīng)的二叉排序樹(shù)的數(shù)目組成的這個(gè)序列，就是一個(gè)“卡塔蘭數(shù)”序列。
對(duì)此感興趣的朋友，可以網(wǎng)上查閱相關(guān)資料，很方便的。因?yàn)閮?nèi)容較多，且推導(dǎo)需要較多的數(shù)學(xué)知識(shí)，就不作詳細(xì)推導(dǎo)了。它可以有幾個(gè)不同的遞推公式進(jìn)行計(jì)算的。
卡特蘭數(shù)又稱卡塔蘭數(shù)，英文名Catalan number，是組合數(shù)學(xué)帆和中一個(gè)常出吵禪現(xiàn)在各種計(jì)數(shù)問(wèn)題中出現(xiàn)的數(shù)列。以比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)的名字來(lái)命名，其前幾項(xiàng)為（從第零項(xiàng)開(kāi)始） : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
1、斐波拉契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55。每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)和；
斐波那契數(shù)列（Fibonacci sequence），又稱黃金分割數(shù)列、因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐胡鬧波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F(0)=0，F(xiàn)(1)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域，斐波納契數(shù)列都有直接的應(yīng)用。通項(xiàng)公式：
注：此時(shí)：
(如上，又稱為“比內(nèi)公式”，是用無(wú)理數(shù)表示有理數(shù)的一個(gè)范例。
2、卡特蘭數(shù)列：又稱卡塔蘭數(shù)，英文名Catalan number，是組合數(shù)學(xué)握做此中一個(gè)常出現(xiàn)在各種計(jì)數(shù)問(wèn)題中出現(xiàn)的數(shù)列。以比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)的名字來(lái)命名，其前幾項(xiàng)為 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...
卡特蘭數(shù)Cn滿足以下遞推關(guān)系[1]：
3、漢諾塔數(shù)列：漢諾塔問(wèn)題家傳戶曉，其問(wèn)題背景不做詳述，此處重點(diǎn)講解在有3根柱子的情況下，漢諾塔問(wèn)題求解的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。
以上就是卡特蘭數(shù)與高中數(shù)學(xué)的全部?jī)?nèi)容，卡特蘭積分公式C(2nn)除(n加1)。卡特蘭數(shù)又稱卡塔蘭數(shù)，是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)常出現(xiàn)在各種計(jì)數(shù)問(wèn)題中出現(xiàn)的數(shù)列，由以比利時(shí)的數(shù)學(xué)家歐仁查理卡塔蘭1814至1894命名，卡特蘭數(shù)的第n項(xiàng)h(n)等于C(2nn)C(2nn1)。
