目錄高中常用構造函數公式口訣 導數問題中的14種構造函數的方法 數學構造函數的幾種形式 構造函數法解決不等式問題 高中構造函數常見模板
構造法屬于非常規思維,它適用于對某些常規方法不易解決的問題,既巧妙,又簡潔。其主要思想是依據題設條件特點,以所求結論為方向,在思維中形成新的數學形式,使得問題在這種形式下,擁有簡捷解決的方法。由于它主要表現出思維的試探性,所以是競賽中重要的解題方法之一。
1、構造方程法
構造方程通常是構造一些特殊的方程,如一元二次方程等。因為一元二次方程本身具有一些可擴展的內容,如方程有實根則判別式大于零或等于零;其根與系數之間具有非常特殊的關系—韋達定理;方程在區間上有實根可與函數和圖象產生對應關系等等。通過構造方程,可以將一些“相等關系”轉化為“不等關系”,或者將“不等關系”轉化為“相等關系”。
例1為實數,且滿足 則求 的范圍。
分析: 由已知條件得 ,所以根據韋達定理可構造一元二次方程
此方程有兩實根,其判別式不小于零,即有
由此可得的取值范圍是[1,9]。
這里需要說明的是:在具體的問題中要構造什么方程,要看具體問題的明枯需求而定,但凡是涉及“兩數之和或兩數之積”,應該想到可通過韋達定理來構造方程,凡涉及與判別式結構類似的關系式也應該想到可以構造相應的方程。
例2已知 是正 的外接圓 (劣?。┥先我稽c,求證:
例3 確定方程組的所有整數解,方程組為
分析:此題是較高次的方程組,難度很大,但由 可求出 ,從而可用與方程有關的知識,問題就比較容易解決。
2、構造函數法
函數是數學中最重要的思想,在初等數學中,聯系著數、式、不等式、數列、曲線等方面的問題,構造函數就是從問題本身的特點出發構造一個新的函數,再利用函數性質去求得問題的解。
例4 已知 是滿足的實數,試確定 的最大值。
3、構造圖形法
例6求函數 的值域。
分析:此關系反映了過兩點 的直線的斜率,而 點是單位圓 上的點,所以考慮當 在單位圓上運動時直線 的斜率的取值范圍,易得斜率范圍為
需要注意的是:要構造圖形解題首先考慮一些基本代數式與幾何圖形的對應關系,如方程與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線及一些基本圖形的性質的代數表達式,如三角函數的正弦、余弦定理等。
4、構造模型
將問題中的條件,數量關系等,在已構造的模型上實現并得到一種解釋,從而實現問題的證明,具體解題過程中有些模型能從問題本身的條件中獲得,而有些模型構造精巧。
例7證以頂點在單位圓上的銳角三角形的三角的余弦之和小于該三角形周長之半。
5、構造不等式法
在一些問題特別是函數的最值問題中,其條件或函數關整理系式的構成,往往隱含著一梁圓些限制條件,如方程有解時 ,一些基本不等式 等,充分利用它們可構成不等式,使問題得到解決。
(全國高中數學聯賽)
6、構造距離法
例10設 ,求 的最小值。
分析: 可變形為 。其中 為點 與點 之間距離的平方,而此兩點分別在直線 及 上,根據兩直線位置情況,不難知道兩直線上的點之間最短距離為 。從而可知 的最小值為6。
7、構造對應關系
所謂構造對應關系即將一件事與另一件事相對應,在處理一些計數問題時常用這種方法,由于有時直接滿足某些要求的元素的個數可能比較困難,但考慮與之相對應的另一類元素就可能較容易。
例11試問方程 有多少組正整數解。
分析: 可構造這樣一個對應關系:將2002個完全相同的球排成一排,則它們有2001個間隔,將1000塊板插入這2001個間隔中(每間隔只能插進一個板),則顯然每組插法與原方程的每一組解產生一一對應關系,而此時2001個間隔中人選1000個間隔分別插入一塊板,顯然共有 種不同的插法,所以原方程共有 個不同的整數解。
構造法的應用,對于考試及競賽中靈活應試,以及培養能力、啟迪思橡槐塌維具有十分重要的意義。上面僅僅是常見的集中構造法,還有很多構造類型,如構造復數、構造等價命題、構造數列、構造恒等式、構造結論、構造復數等。在數學構造中,針對不同的題型,巧妙的利用題中條件或結論使問題得到解決。這種獨到的方法往往在解題過程中使解題思路開闊很多,更減少了解題過程中不必要的麻煩。但同時,構造法是一種較靈活的方法,不同的題型要用不同的方法來解決。總之,構造法是一種靈活性很強的數學解題方法,它要求解題者具備扎實的基礎知識,敏銳的觀察能力及豐富的想象力,這樣才能在做題過程中起到事半功倍的效果。
構造函數法在解題中的應用
摘要:函數思想是數學思想的有機組成部分,它在數學解題中的應用越來越廣泛。本文就構造函數這一方法在不等式、數列、方程有解及恒成立問題等方面的應用舉例說明。
關鍵詞:函數思想;構造函數;不等式;方程;應用
函數思想,指運用函數的概念和性質,通過類比聯想轉化合理地構造函數,然后去分析、研究問題,轉化問題并解決問題。因此函數思想的實質是用聯系和變化的觀點提出數學對象,抽象其數量特征,建立函數關系。
函數思想在數學應用中占有重要的地位,應用范圍很廣。函數思想不僅體現在本身就是函數問題的高考試題中,而且對于諸如方程、三角函數、不等式、數列、解析幾何等問題也常常可以通過構造函數來求解。
根據需要,構造輔助函數是高等數學中一種常用的方法,這種方法也已滲透到中學數學中。首先解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題,設法建立起目標函數,并確定變量的限制條件,用函數的觀點加以分析,??墒箚栴}變得明了,從而易于找到一種科學的解題途徑。其次數量關系是數學中的一種基本關系?,F實世界的復雜性決定了數量關系的多元性。因此,如何從多變元的數量關系中選定合適的主變元,從而揭示其中主要的函數關系,有時便成了數學問題能否“明朗化”的關鍵所在。下面我們舉例說明構造函數的方法在解題中的應用。
一、構造函數解決有關不等式的問題
有些不等式證明和比較大小的問題,如能根據其結構特征,構造相應的函數,從函數的單調孫卜性或有界性局攜等角度入手,去分析推理,證明過程就會簡潔又明快。
例1:若,則 的大小關系是。
分析:式中各項的結構相同,只是字母不同,故可構造函數 進行判斷。
解:構造函數 ,易證函數在其區間 是單調遞增函數。
例2(2008年山東理):已知函數 其中為常數。當 時,證明:對任意的正整數 ,當 時,有
證法一:因為 ,所以 。
當 為偶數時,令 則 ( )所以當 時, 單調遞增。又 ,因此 恒成立,所以 成立。當 為奇數時,要證 ,由于 ,所以只需證 ,令 ,則 ( ),所以,當 時, 單調遞增,又 ,所以當 時,恒有 ,即 命題成立。
綜上所述,結論成立。
證法二:當 時, ,當 時,對任意的正整數 ,恒有 ,故只需證明 。令則 ,當 時, ,故 在 上單調遞增,因此當 時, ,即 成立。故當 時,有 ,即 。
試題分析:第二問需要對構造的'新函數 進行“常規處理”,即先證單調性,然后求最值,最后作出判斷。
評注:函數類問題的解題方法要內悟、歸納、整理,使之成為一個,在具體運用時自如流暢,既要具有一定的思維定向,也要謹防盲目套用。函數與不等式之間如同一對孿生兄弟,通過對不等式結構特征的分析,來構造函數模型,常常可以收到出奇制勝的效果。此類問題對轉化能力要求很高,不能有效轉化是解題難以突破的主要原因,要善于構造函數證明不等式,從而體現導數的性。
二、構造函數解決數列中的有關問題
數列的實質是函數,用函數思想解數列問題能夠加深對數列概念及公式的理解,加強知識點間的聯系.
例3:在等差數列中,已知 Sp = q , Sq = p ( p ≠q) ,求 Sp+q 的值。
略解:因為是n的一次函數,點( n ,) 共線,所以點 (p , ) , ( q, ) ,( p + q ,)共線, 則有化簡即得 Sp+q= -( p + q ) 。
例4:等差數列{ }的首項 ,前 項的和為 ,若 ,問 為何值時 最大?
簡析:運用數列中桐凱伏的通項公式的特點,把數列問題轉化為函數問題解決。
解:依題意,設此函數是以 為自變量的二次函數。
故二次函數 的圖象開口向下當 時, 最大,但 中,當 為偶數時,時,最大當 為奇數時,時,最大。
三、構造函數解決方程有解、無解及若干個解的問題
方程有解、無解問題可以用“變量分離法”轉化為求函數的值域,或直接構造函數。
例5(2010上海文科數學):若 是方程式 的解,則 屬于區間()
A. (0,1)B.(1,1.25)C.(1.25,1.75)D.(1.75,2)
解析:
知 屬于區間(1.75,2)
例6(2010天津文科數學):設函數f(x)=x- ,對任意 恒成立,則實數m的取值范圍是________。答案:m<-1解析:本題主要考查了恒成立問題的基本解法及分類討論思想,屬于難題。
模型1,若f'(x)的系數為x,且同時出現與f(x)的和或差,考慮構造x與f(x)的積或者商。
模型2,若出現f(x)與f'(x)且系數相同時,考慮構造e與f(x)的積枝顫或者商。
模型3,若出現f(x)與f'(x)系數分別是常數和x時,考慮構造x"與f(x)的積或者商。
模型4,若出現f(x)與f'(x)且系數為sinx與COSx時,考慮構造sinx與f(x)的積或者商,或者cosx與f(x)的積或者商。
構造輔助函數是謹搭拆求解導祥棗數問題的常用策略,而構造函數的方法技巧較為眾多,需要結合具體問題合理選用。解題時所構函數的形式不同,獲得的解題效果也不相同,文章對導數問題加以剖析,結合實例簡要探討作差構造、拆分構造、換元構造和特征構造四種構造技巧,并提出相應的教學建議。
用構造函數解導數問題:
近幾年高考數學壓軸題,多以導數為來證明不等式或求參數的范圍,這類試題具有結構獨特、技巧性高、綜合性強等特點,而構造函數是解導數問題的最基本方法,但在平時的教學和考試中,發現很多學生不會合理構造函數,結果往往求解非常復雜甚至是無果而終.
函數與方程思想、轉化與化歸思想是高中數學中兩大思想,而構造函數的解題思路恰好這兩種思想的統一體現,尤其是反映在導數題型中。
構造函數證明拉格朗日定理如下:
拉格朗日中值定理是考研數學復習的重點,經常出現在證明題中,是考研數學的重點和難點。2009年的考研數學(包括數一、數二、數三)真題中的一道證明題中的第一問甚至要求證明該定理。
下面文都考研數學教研老師結合該真題,給出該定理的三種證明思路,希望能幫助同學們掌握和利用該定理。
首先,我們一起看一下該定理:
(拉格朗日中值定理)
然后,我們一弊御起學習三種具體的證明方法:
1、原函數構造法
下面給出具體的證明過滑則程:
2、作差構造函數法
該法也主要利用羅爾定理證明,只是函數構造方法與1有所不同,下面給出具體的證明過程:
2018考研數學:拉格租讓巖朗日中值定理的三種證明方法
3、行列式法
考研數學復習
上述三種方法都是基于羅爾定理證明的,主要是構造出一個滿足羅爾定理的函數。拉格朗日中值定理的證明方法,同學們務必要牢牢掌握至少一種。另外,同學們在做與拉格朗日中值定理相關的證明題時,可以借鑒上述三種方法來構造函數。
從拉格朗日中值定理的證明方法中,我們也會發現數學的方法多種多樣,不拘泥于一種形式。所以,在平時的做題過程中,同學們要靈活多變,注意選用適合的方法解決題目。
把基本的記得就行了:(X?)' = n×X?﹣1 ;如:(3X?)′= 4×3X3=12X3, (X)'=1×X1﹣1=1
(求導時系數不變)
(lnX)'= 1/X;(lgX)'=[(lnX)/(ln10)]'=(lnX)'/ln10=1/(Xln10)
[af(x)]' = a[f(x)'];(其中亂迅a為系數)
[f(x)±g(x)]' = f(x)'±g(x)';如:2X + lnX = 2+1/X
[f(x)g(x)]'=f(x)×g(x)'+f(x)'×g(x) ;如:X3 × lnX = X3/X + 3X2×lnX = X2+3X2lnX
[f(x)/g(x)]'=[f(x)'×g(x)-f(x)×g(x)']/g2(x);如:(lnX)/X = [(1/X)X - lnX] / X2
[f(g(x))]'=f'(g(x))×g'(x);如:ln(X3) = (1/X3)×(3X2)
(sinX)'=cosX;如:(sin2X)'=(cos2X)×2
(cosX)'= ﹣sinX
(tanX)'=(sinX/盯陪悔cosX)'=[cos2X+sin2X]/cos2X=1/cos2X
這些是最基本的,也是必須記得特別熟練的,這樣不管什么考題都不怕了;
高中一般用導數凱正用來求最值,很方便的,導數為0的點就是極值點(注意,還不是最值),你再分析單調區間和兩端點的值就可以得出最值了,這些書上都有,掌握原理就得了。
(千萬不要偷懶,一定要背熟上面的基本,否則不光高考要吃虧,到了大學你學積分時也會搞不懂的,因為這些都是學習積分的最最基礎,而且假如以后你要考研究生,對于理工類的學生來說,積分也是最熱點考題?。。。?/p>