數(shù)學(xué)幻方？情那么，數(shù)學(xué)幻方？一起來(lái)了解一下吧。
幻方是一種廣為流傳的數(shù)學(xué)游戲，據(jù)說(shuō)早在大禹治水時(shí)就發(fā)現(xiàn)過(guò)?；梅降奶攸c(diǎn)是：由自然數(shù)構(gòu)成n×n正方形陣列，稱為n階幻方，每一行、每一列、兩對(duì)角線上的數(shù)之和相等。法國(guó)人羅伯總結(jié)出了構(gòu)造奇數(shù)階連續(xù)自然數(shù)幻方的簡(jiǎn)單易行的方法“羅伯法”。 羅伯法的具體方法如下： 把1(或最小的數(shù))放在第一行正中； 按以下規(guī)律排列剩下的n2-1個(gè)數(shù)： 1)每一個(gè)數(shù)放在前一個(gè)數(shù)的右上一格； 2)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行且超出了最右列那么就把它放在前一個(gè)數(shù)的下一行同一列的格內(nèi)； 5)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)有數(shù)填入，處理方法同4)。 3階幻方，用羅伯法得出答案 8 1 6 3 5 7 4 9 2 你可以把每個(gè)數(shù)都減去一個(gè)固定值，也可以使每一行、每一列、兩對(duì)角線上的數(shù)之和相等。 比如都剪去5，得出 3 -4 1 -2 0 2 -1 4 -3 46
想：1 9=10，2 8=10，3 7=10，4 6=10。這每對(duì)數(shù)的和再加上5都等于15，可確定中心格應(yīng)填5，這四組數(shù)應(yīng)分別填在橫、豎和對(duì)角線的位置上。先填四個(gè)角，若填兩對(duì)奇數(shù)，那么因三個(gè)奇數(shù)的和才可能得奇數(shù)，四邊上的格里已不可再填奇數(shù)，不行。若四個(gè)角分別填一對(duì)偶數(shù)，一對(duì)奇數(shù)，也行不通。因此，判定四個(gè)角上必須填兩對(duì)偶數(shù)。對(duì)角線上的數(shù)填好后，其余格里再填奇數(shù)就很容易了。 解： 上面是最簡(jiǎn)單的幻方，也叫三階幻方。相傳，大禹治水時(shí)，洛水中出現(xiàn)了一個(gè)“神龜”背上有美妙的圖案，史稱“洛書(shū)”，用現(xiàn)在的數(shù)字翻譯出來(lái)，就是三階幻方。 南宋數(shù)學(xué)家楊輝概括其構(gòu)造方法為：“九子斜排。上下對(duì)易，左右相更。四維挺出?！?/p>
三階幻方，幻和為15是最簡(jiǎn)單的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9九個(gè)數(shù)字組成的一個(gè)三行三列的矩陣其對(duì)角線橫行縱向的數(shù)字的和都為為15 想：1 9=10，2 8=10，3 7=10，4 6=10。這每對(duì)數(shù)的和再加上5都等于15，可確定中心格應(yīng)填5，這四組數(shù)應(yīng)分別填在橫、豎和對(duì)角線的位置上。先填四個(gè)角，若填兩對(duì)奇數(shù)，那么因三個(gè)奇數(shù)的和才可能得奇數(shù)，四邊上的格里已不可再填奇數(shù)，不行。若四個(gè)角分別填一對(duì)偶數(shù)，一對(duì)奇數(shù)，也行不通。因此，判定四個(gè)角上必須填兩對(duì)偶數(shù)。對(duì)角線上的數(shù)填好后，其余格里再填奇數(shù)就很容易了。 解：上面是最簡(jiǎn)單的幻方，也叫三階幻方。相傳，大禹治水時(shí)，洛水中出現(xiàn)了一個(gè)“神龜”背上有美妙的圖案，史稱“洛書(shū)”，用現(xiàn)在的數(shù)字翻譯出來(lái)，就是三階幻方。 南宋數(shù)學(xué)家楊輝概括其構(gòu)造方法為：“九子斜排。上下對(duì)易，左右相更。四維挺出。”
幻方最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期《大戴禮》中，這說(shuō)明我國(guó)人民早在2500年前就已經(jīng)知道了幻方的排列規(guī)律。而在國(guó)外，公元130年，希臘人塞翁才第一次提起幻方。我國(guó)不僅擁用幻方的發(fā)明權(quán)，而且是對(duì)幻方進(jìn)行深入研究的國(guó)家。公元13世紀(jì)的數(shù)學(xué)家楊輝已經(jīng)編制出3－10階幻方，記載在他1275年寫(xiě)的《續(xù)古摘廳算法》一書(shū)中。在歐洲，直到574年，德國(guó)著名畫(huà)家丟功才繪制出了完整的4階幻方。
數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明，對(duì)于n>2，n階幻方都存在。目前填寫(xiě)幻方的方法，是把幻方分成了三類，每類又有各種各樣的填寫(xiě)方法。
1、奇數(shù)階幻方
n為奇數(shù) (n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)
奇數(shù)階幻方最經(jīng)典的填法是羅伯特法(也有人稱之為樓梯法)。填寫(xiě)方法是這樣：
把1(或最小的數(shù))放在第一行正中； 按以下規(guī)律排列剩下的n×n-1個(gè)數(shù)：
(1)每一個(gè)數(shù)放在前一個(gè)數(shù)的右上一格；
(2)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
(3)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
(4)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)超出了頂行且超出了最右列，那么就把它放在前一個(gè)數(shù)的下一行同一列的格內(nèi)；
(5)如果這個(gè)數(shù)所要放的格已經(jīng)有數(shù)填入，處理方法同(4)。
這種寫(xiě)法總是先向“右上”的方向，象是在爬樓梯。
2、雙偶階幻方
n為偶數(shù)，且能被4整除 (n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……)
先說(shuō)明一個(gè)定義。互補(bǔ)：如果兩個(gè)數(shù)字的和，等于幻方最大數(shù)和最小數(shù)的和，即 n*n+1，稱為互補(bǔ)。
先看看4階幻方的填法：將數(shù)字從左到右、從上到下按順序填寫(xiě)：
這個(gè)方陣的對(duì)角線，已經(jīng)用顏色標(biāo)出。將對(duì)角線上的數(shù)字，換成與它互補(bǔ)（同色）的數(shù)字。
這里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6……換完后就是一個(gè)四階幻方。
對(duì)于n=4k階幻方，我們先把數(shù)字按順序填寫(xiě)。寫(xiě)好后，按4*4把它劃分成k*k個(gè)方陣。因?yàn)閚是4的倍數(shù)，一定能用4*4的小方陣分割。然后把每個(gè)小方陣的對(duì)角線，象制作4階幻方的方法一樣，對(duì)角線上的數(shù)字換成互補(bǔ)的數(shù)字，就構(gòu)成幻方。
3、單偶階幻方
n為偶數(shù)，且不能被4整除 (n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……)
這是三種里面最復(fù)雜的幻方。
以n=10為例。這時(shí)，k=2
(1) 把方陣分為A，B，C，D四個(gè)象限，這樣每一個(gè)象限肯定是奇數(shù)階。用樓梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇數(shù)階幻方的填法填數(shù)。
(2) 在A象限的中間行、中間格開(kāi)始，按自左向右的方向，標(biāo)出k格。A象限的其它行則標(biāo)出最左邊的k格。將這些格，和C象限相對(duì)位置上的數(shù)，互換位置。
(3) 在B象限任一行的中間格，自右向左，標(biāo)出k-1列。(注：6階幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的數(shù)據(jù)交換)，將B象限標(biāo)出的這些數(shù)，和D象限相對(duì)位置上的數(shù)進(jìn)行交換，就形成幻方。
看起來(lái)很麻煩，其實(shí)掌握了方法就很簡(jiǎn)單了。
1)
-1 -2 +3
-4 +6 -5
+9 -7 -8
2)
-1 +3 +4
+6 -2 +7
+8 +9 -5
以上就是數(shù)學(xué)幻方的全部?jī)?nèi)容， .。
