數(shù)學分析定理？這是調和級數(shù)的變形，是個發(fā)散的數(shù)列。當n→∞時前n項和應該是∞。可以用高等數(shù)學中的冪級數(shù)展開去證明其發(fā)散性,也可以簡單地這么理解：已知1/3到1/2n+1顯然有n個數(shù)（n=1,2,3）取后面n/2個數(shù)，那么，數(shù)學分析定理？一起來了解一下吧。
1、令F(t)=te^t-1
則F(0)=-1<0,F(1)=e-1>0
由介值定理知存在ξ∈(0,1)使得F(ξ)=0
即ξe^ξ-1=0=>ξ=e^(-ξ)
2、h(x)=x單增，g(x)=e^(-x)單減
且x=ξ處h(x)=g(x)。
故(0,ξ)上h(x)
故當x≠ξ時，x-ξ與e^(-x)-ξ異號
且令
f(x)=(x-ξ)/(e^(-x)-ξ)-1
=(x-e^(-ξ)-ξ+e^(-x))/(e^(-x)-ξ)
=[1/(e^(-x)-ξ)][(x+e^(-x))-(ξ-e^(-ξ))]，
且由于y=x+e^(-x)為以ξ為最小值點的對號函數(shù)（于(0,1)）
故(x+e^(-x))-(ξ-e^(-ξ))>0
當x<ξ時，(e^(-x)-ξ)>0;當x>ξ時，(e^(-x)-ξ)<0
故x<ξ時，|x-ξ|>|e^(-x)-ξ|，
正項數(shù)列yn=|xn-ξ|單減到0
{x(2n+1)}單增到ξ,{x(2n)}單減到ξ,{xn}收斂到ξ。
同理x>ξ時，
{x(2n)}單減到ξ，{x(2n+1)}單增到ξ，{xn}收斂到ξ。
證畢
海因一巴拿赫定理(Hahn-Banach theorem)凸集幾何的基本定理.它是關于凸集與超平面的定理.它在泛函分析中有重要的應用。
其關鍵乃是超平面與線性形式之間有著對應關系.若X是仿射空間，A是X的一個非空凸開集，且1是X的一個仿射子空間，使得A門L=必，則存在X的一個超平面，它包含L，并且與A不相交。
在泛函分析中，巴拿赫定理是一個極為重要的。它允許了定義在某個向量空間上的有界線性算子擴張到整個空間，并說明了存在“足夠”的連續(xù)線性泛函，定義在每一個賦范向量空間，使對偶空間的研究變得有趣味。
這是調和級數(shù)的變形，是個發(fā)散的數(shù)列。當n→∞時前n項和應該是∞。可以用高等數(shù)學中的冪級數(shù)展開去證明其發(fā)散性,也可以簡單地這么理解：已知1/3到1/2n+1顯然有n個數(shù)（n=1,2,3...）取后面n/2個數(shù)，即從1/n+2到1/2n+1,求和，Σ>(n/2)/(2n+1)=1/(4+(2/n))；當n→∞時，1/(4+(2/n))=1/4,即:Σ>1/4,不防設前n/2個數(shù)最后一位為1/2k+1，同理取前k/2個數(shù)，后k/2求和，同樣有：Σ>1/4 由于n→∞，所以是可以無限劃分的，每個1/2的累加都大于1/4, 相當于無窮多個1/4相加，可知該數(shù)列發(fā)散。實際上對于有限項n，其求和公式為：φ(n+(2/3))/2 +γ/2+ln2-1,其中φ函數(shù)=F'/F , F表示gamma函數(shù)
微分中值定理(即羅爾定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 泰勒定理)是數(shù)學分析上冊最重要的內容之一, 想要學好中值定理, 首先要學習它們的證明方法, 需要強調的是拉格朗日中值定理與柯西中值定理均可由羅爾中值定理進行證明, 證明的方法為積分法, 這是構造輔助函數(shù)最基本的一種手段, 另外由此也可以看出羅爾中值定理的極端重要性.
1.羅爾中值定理的證明過程如下所示：
注意：羅爾中值定理是微分中值定理的基本，根據(jù)之后的積分法可知，拉格朗日中值定理和柯西中值定理是由羅爾中值定理證明的，也就是說，理論上，可以用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理的題目，均可以由羅爾中值定理證明。
2.拉格朗日中值定理的證明過程如下所示：
3.柯西中值定理的證明過程如下所示：
經(jīng)過以上三個微分中值定理的證明過程之后，我們會發(fā)現(xiàn)，在拉格朗日中值定理中如果f(a)=f(b),就是羅爾中值定理，在柯西微分中值定理中，如果g(x)=x,那么就成為了拉格朗日中值定理，我們就可以得出他們之間的關系為：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一種特殊情況，同樣，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況。
定義1：設f在上有定義,若,則稱f在點連續(xù)
定義2：若,則在點連續(xù)
定義3：若,使得時有,則稱f在點連續(xù)
注：f在點連續(xù)即極限運算與對應法則f可交換,
例：證明函數(shù)在點連續(xù),其中為Dirichlet函數(shù)
證：
定義：設f在內有定義,若,則稱f在點右(左)連續(xù)
定理：f在點連續(xù)f在既是右連續(xù)又是左連續(xù)
定義：設f在內有定義,若f在點無定義,或f在點有定義而不連續(xù),則稱點為f的間斷點或不連續(xù)點
1.f在點無定義或不存在
2.f在點有定義且存在,但
1.可去間斷點
若,而f在點無定義,或有定義但,則稱為f的可去間斷點
設為函數(shù)f的可去間斷點,且,定義一個函數(shù)
顯然對于,是它的連續(xù)點
2.跳躍間斷點
若f在點的左、右極限都存在,但,則稱點為f的跳躍間斷點
注：可去間斷點和跳躍間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點,第一類間斷點的特點是函數(shù)在該點處的左、右極限都存在
3.第二類間斷點
函數(shù)的所有其他形式的間斷點,即,使函數(shù)至少有一側極限不存在的點
例：Dirichlet函數(shù)定義域R上每一點x都是第二類間斷點
定義：若f在區(qū)間I上的每一點都連續(xù),則稱f為I上的連續(xù)函數(shù)
對于閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間的端點,函數(shù)在這些點上連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù)
定義：若f在區(qū)間[a,b]上僅有有限個第一類間斷點,則稱f在[a,b]上分段連續(xù)
例：證明Riemann函數(shù)
在(0,1)內任何無理點處都連續(xù),任何有理點處都不連續(xù)
證：
以上就是數(shù)學分析定理的全部內容，定理：設函數(shù) 和 滿足：1.在 上都連續(xù) 2.在 上都可導 3. 和 不同時為零 4.則 ,使得 證明：作輔助函數(shù) 顯然 在 上滿足羅爾定理條件 故 。
