目錄第二數學歸納法舉例 數學歸納法的證明過程 第一歸納法和第二歸納法 什么叫做數學歸納法 第一歸納法和第二歸納法區別
使用數學歷畢歸納法一般是解笑啟決與數列有關的數學問題。我可以舉幾個例子：
證明數列的遞推式；
證明數列求和式；
證明某些數列不等式。此外，數學歸納法體現了一種遞歸性，于是可以推廣歸納原理，得到第二數學碰爛如歸納法、反向數學歸納法、二重數學歸納法、螺旋數學歸納法。這些歸納法將能擴大歸納原理的使用空間。比如證明算術-幾何平均值不等式就可以用反向數學歸納法
一般擾游只是用于遞推磨備公式。你可以通過觀察知道它的通項公式，但是你又無法證明，此時就要用到數學歸納法了。寫出通項公式。然后再根據其他的條件證明緩游銷你這個是正確的。完畢。給個例子。我可以更好的講解。
一、相同點：第一數學歸納法和第二數學歸納法是等價的。
二、不同點
1、形式上的區別
第一數學歸納法：初始驗證只要驗證n=1（或n=0)時結論成立；通式假定只要假定n=k時結論也成立；漸進遞推在前兩條基礎上，推導n=k+1時結論也成立。
第二數學歸納法：初始驗證要驗證n=1,2,3,……,m時，結論成立；通咐慶式假定要假定n=k+1,k+2,k+3,……,k+m時，結論也成立；漸進遞推在前兩條基礎上，推導n=k+m+1時，結論也成立。
2、使用方法不同
第一數學歸納法：第一歸納法是第二歸納法的特殊形式。凡是能用第一歸納法的，都可以使用第二歸納法。
第二數學歸納法：第二歸納法可以證明的，第一歸顫彎納法并不一定能證明。
3、證明過程不同
如果采用第二數學歸納法，假設n<=k成立，茄簡悶證n=k+1成立，可以利用n=1,2,......,k；如果只假設n=k，那就只能利用n=k。
參考資料來源：--第一數學歸納法
參考資料來源：--第二數學歸納法
（一）第一數學歸納法：
一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。
（二）第二數學歸納法：
對于某個漏歷山與自然數有關的命題P(n），
（1）驗證n=n0時P(n）成立；
（2）假設n0≤n<=k時P(n）成立，并在此基礎上，推出P(k+1）成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。
（三）倒推歸納法（反向歸納法）：
（1）驗證對于無窮多個自然數n命題P(n）成立（無窮多個自然數可以是一個無窮數列中的數，如對于算術幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假設P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基礎上，推出P(k）成立，
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立；
（四）螺旋式歸納法
對兩個與自然數有關的命題P(n），Q(n），
（1）驗證n=n0時P(n）成立；
（2）假設P(k）（k>爛笑n0）成立，能推出Q(k）成立，假設 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。
向左轉|向右轉
解題要點
數學歸納法對解題的形式要求嚴格，數學歸納法解題過程中，
第一步：驗證n取第一個自然數時成立
第二步：假設n=k時成立，然后以驗證的返中條件和假設的條件作為論證的依據進行推導，在接下來的推導過程中不能直接將n=k+1代入假設的原式中去。
最后一步總結表述。
需要強調是數學歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：
應用
（1）確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。（2）數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式。（3）證明數列前n項和與通項公式的成立。（4）證明和自然數有關的不等式。
數歸納種重要論證本文數原理發第二種形式即第二數歸納進行粗略探討數歸納種重要論證通所說數歸納指第種形式言本文想數原理發第二種形式即第二數歸納進行粗略探討旨加深數歸納認識】
第二數歸納原理設與整數n關命題：
（1）n=1命題立；
（2）假設n≤k（k∈N）命題立由推n=k+1命題立
根據①②命題于切整數n說都立
用反證證明
假設命題切自數都立命N表示使命題立自數所集合顯N非空于由數原理N必數mm≠1否則與（1）矛盾所m－1自數mN數所m－1能使命題立說命題于切≤m－1自數都立根據（2）知m能使命題立與m使命題立自數集N數矛盾定理獲證
定理2（1）換n等于某整滑行數k
于證明程第步驟即n=1（或某整數a）情形需說需要用n=1（或某整數a）直接驗證即斷定欲證命題真偽所關鍵于第二步驟即由n≤kn=k+1驗證程事實我難例1第二步驟論證程發現證明等式n=k+1立利用假設條件；等式n=k及n=k－1均需立同例2例外形式n=k及n=k－1別代換n=k－1n=k－2例3同第二步驟論證程論證命題n=k+1立問題轉化驗證命題n=k－2+1立問題換言使命題n=k+1立必要條件命題n=k－2+1立根據1取值范圍命題n=k－k+1互立實質命題切≤k自數n說都立條件別第二步驟歸納假設析表明假論證命n=k+1真偽必須n取于k兩或兩乃至全部自數命題真偽其論證依據則般選用第二數歸納進行論證所其根本原則于第二數歸納歸納假設要求較第數歸納更強僅要求戚稿命題n=k立且要求命題于切于k自數說都立反能用第數歸納論證數命題定能用第二數歸納進行證明點難理解般說沒任何必要做
第二數歸納第數歸納數歸納種表達形式且證明第二數歸納第數歸納等價所采用同高讓孝表達形式旨更便于我應用
