目錄高中數(shù)學(xué)全部章節(jié) 高中數(shù)學(xué)高二課本 歸納推理有幾種類型 高中數(shù)學(xué)各選修書(shū) 高中數(shù)學(xué)歸納法例題
蠻高級(jí)的數(shù)學(xué)方法,在虧者高考數(shù)學(xué)的一些大體中會(huì)出現(xiàn),一般是倒數(shù)第二題或是最后一題,用上可以拿不少分呢!~ 很多文科生都不會(huì),我也是文科的,當(dāng)時(shí)老師講了好多遍才懂的,但是也不是都需要用得.。
數(shù)辯空派學(xué)歸納法一般用于證明n項(xiàng)遞推的表達(dá)式，n是正整數(shù)
先證明該式在n=1的時(shí)候成立
假設(shè)該式在n=k的時(shí)候成立，再令n=k+1，代到原式中，其中肯定會(huì)用到你假設(shè)成立的n=k這步利用這個(gè)條件如果可以推得該式在n=k+1時(shí)也成立，那攜賀么該式關(guān)于n等于任意正整數(shù)都成立
數(shù)學(xué)歸乎輪伏納法一般用于歲攜證明n項(xiàng)遞推的表達(dá)式，n是正整數(shù)
先證明該式在n=1的時(shí)候成立
假設(shè)該式在n=k的時(shí)候成立，利用這個(gè)條件如果可以桐正推得該式在n=k+1時(shí)也成立，那么該式關(guān)于n等于任意正整數(shù)都成立
1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然毀漏敬成立。
2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（把式中n換成k，寫(xiě)出來(lái)）成立，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，（這步比較困難，搜游化簡(jiǎn)步驟往往繁瑣，纖慎考試時(shí)可以直接寫(xiě)結(jié)果)該式也成立.
由（1）（2）得，原命題對(duì)任意正整數(shù)均成立
用數(shù)學(xué)歸納法證明：2^n+2>n^2
1,n=1,顯然成立
2,設(shè)當(dāng) N=k 時(shí) 成立,即有
2^k+2>k^2.
3. 2^k+2>k^2
2*2^k+4>2*k^2
2*2^k+2>2*k^2-2 =k^2+k^2-2
> k^2 +2k+1
只需 k^2-2>2k+1
即 k^2+2k>3 ,顯然成立
數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的一種方法.必須包括兩步：(1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)自然數(shù)值n=n1(n1=1,2或其他常數(shù))時(shí),命題正確；(2)假設(shè)當(dāng)n取某一自然數(shù)k時(shí)命題正確,以此推出當(dāng)n=k+1時(shí)這個(gè)命題也正確.從而就可斷定命題對(duì)于從n1開(kāi)始的所有自然數(shù)都成立.
數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法,典型地用于確定一個(gè)表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無(wú)窮序列是成立的.有一種用于數(shù)理邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)廣義的形式的觀點(diǎn)指出能被求出值的表達(dá)式是等價(jià)表達(dá)式；這就是著名的結(jié)構(gòu)歸納法.
已知最早的使用數(shù)學(xué)歸納法的證明出現(xiàn)于 Francesco Maurolico 的 Arithmeticorum libri duo (1575年).Maurolico 證明了前 n 個(gè)奇數(shù)的總和是 n^2.
最簡(jiǎn)單和常見(jiàn)的數(shù)學(xué)歸納法證明方法是證明當(dāng)n屬于所有自然數(shù)時(shí)一個(gè)表達(dá)式成,這種方法是由下面兩步組成:
遞推的基礎(chǔ): 證明當(dāng)n = 1時(shí)表達(dá)式成立.
遞推的依據(jù): 證明如果當(dāng)n = m時(shí)成立,那么當(dāng)n = m + 1時(shí)同樣成立.(遞推的依據(jù)中的“如果”被沒(méi)旅漏定義為歸納假設(shè). 不要把整個(gè)第二步稱為歸納假設(shè).)
這個(gè)方法的原理在于第一步證明起始值在表達(dá)式中是成立的,然后證明一個(gè)值到下枯爛一個(gè)值的證明過(guò)程是有效的.如果這兩步都被證明了,那么任何一個(gè)值的證明都可以被包含在重復(fù)不斷進(jìn)行的過(guò)程中.或許想成多米諾效應(yīng)更容易理解一些；如果你有一排很長(zhǎng)的直立著的多米諾骨牌那么如果你可以確定：
第一張骨牌將要倒下.
只要某一個(gè)骨牌倒了,與他相臨的下一個(gè)骨牌也要倒.
那么你就可以推斷所有的的骨牌都將要倒.
數(shù)學(xué)歸納法的原理作為自然數(shù)公理,通常是被規(guī)定了的(參見(jiàn)皮亞諾公理第五條).但是它可以用一些邏輯方法證明；比如,如果下面的公理：
自然數(shù)集是有序的被使用.
注意到有些其他的公理確實(shí)的是數(shù)學(xué)歸納法原理中的二者擇一的公式化.更確切地說(shuō),兩個(gè)都是等價(jià)的.
用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明的步驟：
（1）（歸納奠基）證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立；證明了第一步,就獲得了遞推的基礎(chǔ),但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的普遍性在第一步中,考察結(jié)論成立的最小正整數(shù)就足夠了,沒(méi)有必要再考察幾個(gè)正整數(shù),即使命題對(duì)這幾個(gè)正整數(shù)都成立,也不能保證命題對(duì)其他正整數(shù)也成立；
（2）（歸納遞推）假設(shè)時(shí)命題成立,證明當(dāng)時(shí)命題也成立；證明了第二步,就獲得了遞推的依據(jù),但沒(méi)有第一步就失去了遞推的基礎(chǔ).只有把第一步和第二步結(jié)合在一起,才能獲得普遍性的結(jié)論；
（3）下結(jié)論：命題對(duì)從開(kāi)始的所有正整數(shù)都成立.
注：
（1）用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明時(shí),“歸納奠基”和“歸納遞推”兩個(gè)步驟缺一不可；
（2）在第二步中,在遞推之前, 時(shí)結(jié)論是否成立是不確定的,因此用假設(shè)二字,這一步的實(shí)質(zhì)是證明命題對(duì) 的正確性可以傳遞到 時(shí)的情況.有了這一步,聯(lián)系第一步的結(jié)論（命題對(duì) 成立）,就可以知道命題對(duì) 也成立,進(jìn)而再由第二步可知 即 也成立,…,這樣遞推下去就可以知道對(duì)于所有不小于 的正整數(shù)都成立.在這一步中, 時(shí)命題成立,可以作為條件加以運(yùn)用,而 時(shí)的情況則有待利用歸納假設(shè)、已知的定義、公式、定理加以證明,不能直接將 代入命題.
數(shù)學(xué)歸納法的第二種形式
數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的論證方法.它們通常所說(shuō)的“數(shù)學(xué)歸納法”大多是指它的第一種形式而言,本文想從最小數(shù)原理出發(fā),對(duì)它的第二鎮(zhèn)碼種形式即第二數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行粗略的探討,旨在加深對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí).
第二數(shù)學(xué)歸納法原理是設(shè)有一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題,如果：
（1）當(dāng)n＝1回時(shí),命題成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)命題成立,則當(dāng)n＝k+1時(shí),命題也成立.
那么,命題對(duì)于一切自然數(shù)n來(lái)說(shuō)都成立.
證明：用反證法證明.
假設(shè)命題不是對(duì)一切自然數(shù)都成立.命N表示使命題不成立的自然數(shù)所成的集合,顯然N非空,于是,由最小數(shù)原理N中必有最小數(shù)m,那么m≠1,否則將與（1）矛盾.所以m－1是一個(gè)自然數(shù).但m是N中的最小數(shù),所以m－1能使命題成立.這就是說(shuō),命題對(duì)于一切≤m－1自然數(shù)都成立,根據(jù)（2）可知,m也能使命題成立,這與m是使命題不成立的自然數(shù)集N中的最小數(shù)矛盾.因此定理獲證.
當(dāng)然,定理2中的（1）,也可以換成n等于某一整數(shù)k.
對(duì)于證明過(guò)程的第一個(gè)步驟即n＝1（或某個(gè)整數(shù)a）的情形無(wú)需多說(shuō),只需要用n＝1（或某個(gè)整數(shù)a）直接驗(yàn)證一下,即可斷定欲證之命題的真?zhèn)?所以關(guān)鍵在于第二個(gè)步驟,即由n≤k到n＝k＋1的驗(yàn)證過(guò)程.事實(shí)上,我們不難從例1的第二個(gè)步驟的論證過(guò)程中發(fā)現(xiàn),證明等式在n＝k＋1時(shí)成立是利用了假設(shè)條件；等式在n＝k及n＝k－1時(shí)均需成立.同樣地,例2也不例外,只是形式的把n＝k及n＝k－1分別代換成了n＝k－1和n＝k－2.然而例3就不同了,第二個(gè)步驟的論證過(guò)程,是把論證命題在n＝k＋1時(shí)的成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證命題在n＝k－2＋1時(shí)的成立問(wèn)題.換言之,使命題在n＝k＋1成立的必要條件是命題在n＝k－2＋1時(shí)成立,根據(jù)1的取值范圍,而命題在n＝k－k＋1互時(shí)成立的實(shí)質(zhì)是命題對(duì)一切≤k的自然數(shù)n來(lái)說(shuō)都成立.這個(gè)條件不是別的,正是第二個(gè)步驟中的歸納假設(shè).以上分析表明,假如論證命在n＝k＋1時(shí)的真?zhèn)螘r(shí),必須以n取不大于k的兩個(gè)或兩個(gè)以上乃至全部的自然數(shù)時(shí)命題的真?zhèn)螢槠湔撟C的依據(jù),則一般選用第二數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行論證.之所以這樣,其根本原則在于第二數(shù)學(xué)歸納法的歸納假設(shè)的要求較之第一數(shù)學(xué)歸納法更強(qiáng),不僅要求命題在n－k時(shí)成立,而且還要求命題對(duì)于一切小于k的自然數(shù)來(lái)說(shuō)都成立,反過(guò)來(lái),能用第一數(shù)學(xué)歸納法來(lái)論證的數(shù)學(xué)命題,一定也能用第二數(shù)學(xué)歸納進(jìn)行證明,這一點(diǎn)是不難理解的.不過(guò)一般說(shuō)來(lái),沒(méi)有任何必要這樣做.
第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法一樣,也是數(shù)學(xué)歸納法的一種表達(dá)形式,而且可以證明第二數(shù)學(xué)歸納法和第一數(shù)學(xué)歸納法是等價(jià)的,之所以采用不同的表達(dá)形式,旨在更便于我們應(yīng)用.
一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n)，有如下步驟：
（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立爛納。n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。
綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n)都成立。
第二數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟：
對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)，
（1）驗(yàn)證n=n0時(shí)P(n)成立；
（2）假設(shè)n0≤n 綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），拿歷亂命題P(n)都成立。 倒推歸納法（反向歸納法） （1）驗(yàn)證對(duì)于無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)n命題P(n)成立（無(wú)窮多個(gè)自然數(shù)可以是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列中的數(shù)，如對(duì)于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）； （2）假設(shè)P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k)成立， 綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n)都成立； 螺旋式歸納法 對(duì)兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)，Q(n)， （1）驗(yàn)證n=n0時(shí)P(n)成立； （2）假設(shè)P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假設(shè) Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），P(n)，Q(n)都成消檔立。 數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來(lái)研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)中常用來(lái)證明等式成立和數(shù)列通項(xiàng)公式成立。
