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物理追及與相遇問題，物理追及與相遇問題圓象法

物理
2023-04-26

目錄
高一追及相遇問題物理
追及問題的常見4種情形例題
物理追及與相遇問題圓象法

高一追及相遇問題物理

1.追及和相遇問題

當(dāng)兩個物體在同一直線上運(yùn)動時(shí)，由于兩物體的運(yùn)動情況不同，所以兩物體之間的距離會不斷發(fā)生變化，兩物體間距會越來越大搏舉滾或越來越小，這時(shí)就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題.

2.追及問題的兩類情況

(1)速度大者減速(如勻減速直線運(yùn)動)追速度小者(如勻速運(yùn)動)：

①當(dāng)兩者速度相等時(shí)，若兩者位移之差仍小于初始時(shí)的距離，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)兩者間有最小距離.

②若兩者位移之差等于初始時(shí)的距離，且兩者速度相等時(shí)，則恰能追上，也是兩者相遇時(shí)避免碰撞的臨界條件.

③若兩者位移之差等于初始時(shí)的距離時(shí)，追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機(jī)會，其間速度相等時(shí)兩者間距離有一個極大值.

(2)速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運(yùn)動)追速度大者(如勻速運(yùn)動)：

①當(dāng)兩者速度相等時(shí)有最大距離.

②若兩者位移之差等于初始時(shí)的距離時(shí)，則追上.

3.相遇問題的常見情況

(1)同向運(yùn)動的兩物體追及即相遇.

(2)相向運(yùn)動的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移大小和等于開始時(shí)兩物體的距離時(shí)即相遇.

重點(diǎn)難點(diǎn)突破

一、追及和相遇問題的常見情形

1.速度小者追速度大者常見的幾種情況：

類型

圖象

說明

勻加速追勻速

①t＝t0以前，后面物體與前面物體間距離增大

②t＝t0時(shí)，兩物體相距最遠(yuǎn)為x0＋Δx

③t＝t0以后，后面物體與前面物體間距離減小

④能追及且只能相遇一次

注：x0為開始時(shí)兩物體間的距離

勻速追勻減速

勻加速追勻減速

2.速度大者追速度小者常見的情形：

類型

圖象

說明

勻減速追勻速

開始追及時(shí)，后面物體與前面物體間距離在減小，當(dāng)兩物體速度相等時(shí)，即t＝t0時(shí)刻：

①若Δx＝x0，則恰能追及，兩物體只能相遇一次，這也是避免相撞的臨界條件

②若Δx

③若Δx>x0，則相遇兩次，設(shè)t1時(shí)刻Δx1＝x0兩物體第一次相遇，則t2時(shí)刻兩物體第二次相遇

注：x0是開始時(shí)兩物體間的距離

勻速追勻加速

勻減速追勻加速

二、追及、相遇問題的求解方法

分析追及與相遇問題大致有兩種方法，即數(shù)學(xué)方法和物理方法，具體為：

方法1：利用臨界條件求解.尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時(shí)有最大距離；速度大者減速追趕速度小者，在兩物體速度相等時(shí)有最小距離.

方法2：利用函數(shù)方程求解.利用不等式求解，思路有二：其一是答禪先求基余出在任意時(shí)刻t兩物體間的距離y＝f(t)，若對任何t，均存在y＝f(t)>0，則這兩個物體永遠(yuǎn)不能相遇；若存在某個時(shí)刻t，使得y＝f(t)≤0，則這兩個物體可能相遇.其二是設(shè)在t時(shí)刻兩物體相遇，然后根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0無正實(shí)數(shù)解，則說明這兩物體不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正實(shí)數(shù)解，則說明這兩個物體可能相遇.

方法3：利用圖象求解.若用位移圖象求解，分別作出兩個物體的位移圖象，如果兩個物體的位移圖象相交，則說明兩物體相遇；若用速度圖象求解，則注意比較速度圖線與t軸包圍的面積.

方法4：利用相對運(yùn)動求解.用相對運(yùn)動的知識求解追及或相遇問題時(shí)，要注意將兩個物體對地的物理量(速度、加速度和位移)轉(zhuǎn)化為相對的物理量.在追及問題中，常把被追及物體作為參考系，這樣追趕物體相對被追物體的各物理量即可表示為：s相對＝s后－s前＝s0，v相對＝

v后－v前，a相對＝a后－a前，且上式中各物理量(矢量)的符號都應(yīng)以統(tǒng)一的正方向進(jìn)行確定.

三、分析追及、相遇問題的思路和應(yīng)注意的問題

1.解“追及”、“相遇”問題的思路

(1)根據(jù)對兩物體運(yùn)動過程的分析，畫出物體的運(yùn)動示意圖.

(2)根據(jù)兩物體的運(yùn)動性質(zhì)，分別列出兩物體的位移方程.注意要將兩物體運(yùn)動時(shí)間的關(guān)系反映在方程中.

(3)由運(yùn)動示意圖找出兩物體位移間的關(guān)聯(lián)方程.

(4)聯(lián)立方程求解.

2.分析“追及”、“相遇”問題應(yīng)注意的幾點(diǎn)

(1)分析“追及”、“相遇”問題時(shí)，一定要抓住“一個條件，兩個關(guān)系”：

“一個條件”是兩物體的速度滿足的臨界條件，如兩物體距離最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.

“兩個關(guān)系”是時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系.其中通過畫草圖找到兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口.因此，在學(xué)習(xí)中一定要養(yǎng)成畫草圖分析問題的良好習(xí)慣，因?yàn)檎_的草圖對幫助我們理解題意、啟迪思維大有裨益.

(2)若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動，一定要注意追上該物體前是否停止運(yùn)動.

(3)仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”、“恰好”、“最多”、“至少”等，往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，要滿足相應(yīng)的臨界條件.

典例精析

1.運(yùn)動中的追及和相遇問題

【例1】在一條平直的公路上，乙車以10 m/s的速度勻速行駛，甲車在乙車的后面做初速度為15 m/s，加速度大小為0.5 m/s2的勻減速運(yùn)動，則兩車初始距離L滿足什么條件時(shí)可以使(1)兩車不相遇；(2)兩車只相遇一次；(3)兩車能相遇兩次(設(shè)兩車相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動).

【解析】設(shè)兩車速度相等經(jīng)歷的時(shí)間為t，則甲車恰能追上乙車時(shí)，應(yīng)有

v甲t－＝v乙t＋L

其中t＝，解得L＝25 m

若L>25 m，則兩車等速時(shí)也未追及，以后間距會逐漸增大，即兩車不相遇.

若L＝25 m，則兩車等速時(shí)恰好追及，兩車只相遇一次，以后間距會逐漸增大.

若L<25 m，則兩車等速時(shí)，甲車已運(yùn)動至乙車前面，以后還能再次相遇，即能相遇兩次.

【思維提升】對于追及和相遇問題的處理，要通過兩質(zhì)點(diǎn)的速度進(jìn)行比較分析，找到隱含條件(即速度相同時(shí)，兩質(zhì)點(diǎn)間距離最大或最小)，再結(jié)合兩個運(yùn)動的時(shí)間關(guān)系、位移關(guān)系建立相應(yīng)方程求解.

【拓展1】兩輛游戲賽車a、b在兩條平行的直車道上行駛.t＝0時(shí)兩車都在同一計(jì)時(shí)處，此時(shí)比賽開始.它們在四次比賽中的v-t圖象如圖所示.哪些圖對應(yīng)的比賽中，有一輛賽車追上另一輛( AC )

【解析】由v-t圖象的特點(diǎn)可知，圖線與t軸所圍成面積的大小，即為物體位移的大小.觀察4個圖象，只有A、C選項(xiàng)中，a、b所圍面積的大小有相等的時(shí)刻，故A、C正確.

2.追及、相遇問題的求解

【例2】在水平軌道上有兩列火車A和B相距s，A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動，而B車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動，兩車運(yùn)動方向相同.要使兩車不相撞，求A車的初速度v0應(yīng)滿足什么條件？

【解析】解法一：(物理分析法)A、B車的運(yùn)動過程(如圖所示)利用位移公式、速度公式求解.

對A車有sA＝v0t＋ ×(－2a)×t2

vA＝v0＋(－2a)×t

對B車有sB＝ at2，vB＝at

兩車有s＝sA－sB

追上時(shí)，兩車不相撞的臨界條件是vA＝vB

聯(lián)立以上各式解得v0＝

故要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0≤

解法二：(極值法)利用判別式求解，由解法一可知sA＝s＋sB，即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2

整理得3at2－2v0t＋2s＝0

這是一個關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程，當(dāng)根的判別式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0時(shí)，t無實(shí)數(shù)解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0≤

解法三：(圖象法)利用速度—時(shí)間圖象求解，先作A、B兩車的速度—時(shí)間圖象，其圖象如圖所示，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間兩車剛好不相撞，則對A車有vA＝v＝v0－2at

對B車有vB＝v＝at

以上兩式聯(lián)立解得t＝

經(jīng)t時(shí)間兩車發(fā)生的位移之差，即為原來兩車間的距離s，它可用圖中的陰影面積表示，由圖象可知

s＝ v0?t＝ v0?

所以要使兩車不相撞，A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是v0≤

【思維提升】三種解法中，解法一注重對運(yùn)動過程的分析，抓住兩車間距有極值時(shí)速度應(yīng)相等這一關(guān)鍵條件來求解；解法二中由位移關(guān)系得到一元二次方程，然后利用根的判別式來確定方程中各系數(shù)間的關(guān)系，這也是中學(xué)物理中常用的數(shù)學(xué)方法；解法三通過圖象不僅將兩物體運(yùn)動情況直觀、形象地表示出來，也可以將位移情況顯示，從而快速解答.

【拓展2】從地面上以初速度2v0豎直上拋物體A，相隔Δt時(shí)間后再以初速度v0豎直上拋物體B.要使A、B在空中相遇，Δt應(yīng)滿足什么條件？

【解析】A、B兩物體都做豎直上拋運(yùn)動，由s＝v0t－ gt2作出它們的s-t圖象，如圖所示.顯然，兩圖線的交點(diǎn)表示A、B相遇(sA＝sB).

由圖象可看出Δt滿足關(guān)系式時(shí)，A、B在空中相遇.

易錯門診

3.分析追及、相遇問題的思路

【例3】現(xiàn)檢測汽車A的制動性能：以標(biāo)準(zhǔn)速度20 m/s在平直公路上行駛時(shí)，制動后40 s停下來.若A在平直公路上以20 m/s的速度行駛時(shí)發(fā)現(xiàn)前方180 m處有一貨車B以6 m/s 的速度同向勻速行駛，司機(jī)立即制動，能否發(fā)生撞車事故？

【錯解】設(shè)汽車A制動后40 s的位移為x1，貨車B在這段時(shí)間內(nèi)的位移為x2.

據(jù)a＝得車的加速度a＝－0.5 m/s2

又x1＝v0t＋ at2得

x1＝20×40 m＋ ×(－0.5)×402 m＝400 m

x2＝v2t＝6×40 m＝240 m

兩車位移差為400 m－240 m＝160 m

因?yàn)閮绍噭傞_始相距180 m>160 m

所以兩車不相撞.

【錯因】這是典型的追及問題.關(guān)鍵是要弄清不相撞的條件.汽車A與貨車B同速時(shí)，兩車位移差和初始時(shí)刻兩車距離關(guān)系是判斷兩車能否相撞的依據(jù).當(dāng)兩車同速時(shí)，兩車位移差大于初始時(shí)刻的距離時(shí)，兩車相撞；小于、等于時(shí)，則不相撞.而錯解中的判據(jù)條件錯誤導(dǎo)致錯解.

【正解】如圖，汽車A以v0＝20 m/s的初速度做勻減速直線運(yùn)動經(jīng)40 s停下來.據(jù)加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.當(dāng)A車減為與B車同速時(shí)，是A車逼近B車距離最多的時(shí)刻，這時(shí)若能超過B車則相撞，反之則不能相撞.

據(jù)v2－＝2ax可求出A車減為與B車同速時(shí)的位移

x1＝ m＝364 m

此時(shí)間t內(nèi)B車的位移為x2，則t＝ s＝28 s

x2＝v2t＝6×28 m＝168 m

Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m

所以兩車相撞.

【思維提升】分析追及問題應(yīng)把兩物體的位置關(guān)系圖(如解析中圖)畫好.通過此圖理解物理情景.本題也可以借助圖象幫助理解，如圖所示，陰影區(qū)是A車比B車多通過的最大距離，這段距離若能大于兩車初始時(shí)刻的距離則兩車必相撞.小于、等于則不相撞.從圖中也可以看出A車速度成為零時(shí)，不是A車比B車多走距離最大的時(shí)刻，因此不能作為臨界條件分析.