目錄初中一題多變的數(shù)學(xué)題 初中數(shù)學(xué)一題多變的經(jīng)典例題 八年級數(shù)學(xué)一題多解例題 初中數(shù)學(xué)一題多解教案 初三數(shù)學(xué)一題多解的經(jīng)典例題
一、強(qiáng)化一題多解，拓寬思維廣度
一題多解，是指在問題解決過程中，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，用自己的方法解決 問題，這樣群體中就會出現(xiàn)多種解題方法，而后，在集體中對各種方法進(jìn)行匯報(bào)、 交流。我們不難發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中，通過學(xué)生的獨(dú)立思考獲得了問題的解 決，鍛煉了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和探究能力，思維得到深化。更重要的是，在各自的 方法交流、匯報(bào)過程中，學(xué)生對各種方法進(jìn)行比較、分析、理解，獲得了多種解 題方法，促進(jìn)了學(xué)生從多個(gè)角度思考問題，打破原有的思維方式和習(xí)慣，拓展了 學(xué)生思維的廣度。 在一題多解的教學(xué)中，教師要注重選擇素材，便于學(xué)生獲得多樣的解題方法。 另外，教師還要最大限度地激發(fā)學(xué)生的智力資源，使學(xué)生的思維得到最大程度的 拓展。
二、重視一題多變，促進(jìn)思維的廣度的發(fā)展
一題多變是把題目中的條件或問題進(jìn)行變化。學(xué)生在解決問題過程中，思考 的方向、角度、技巧，根據(jù)條件的發(fā)展變化不斷發(fā)生變化，從多個(gè)角度尋找解決 問題的新方向、新方法。 例如：已知一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于135，求這個(gè)多邊形的度數(shù)？ 變式1，已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1080，求這個(gè)多邊形的度數(shù)？ 變式2，已知一個(gè)多邊形的邊數(shù)是8，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和？ 變式3，已知一個(gè)正多邊形的外角等于45，求這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和？ 變式4，已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角與某一個(gè)外角的度數(shù)總和等于1180，求這 個(gè)多邊形的邊數(shù)？ 通過一題多變，為學(xué)生從不同角度去觀察問題、思考問題，用不同方法解決 問題提供了豐富的材料。使學(xué)生的思維突破定勢，獲得更廣闊的發(fā)展非常有價(jià)值。
三、培養(yǎng)追根溯源的習(xí)慣，發(fā)展思維的深度
數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科。要善于思考，多問“為什么”，才能掌握其 內(nèi)在規(guī)律。多問，古往今來就受到很多先哲的重視。陶行知在詩中說：“何事， 何故，何人，何時(shí)，何如，何地，何去，好像弟弟和哥哥，還有一個(gè)西洋派，姓 名顛倒叫幾何。若向八賢常請教，雖是笨人不會錯(cuò)”。著名華裔物理學(xué)家李政道 先生在國內(nèi)的多次演講中也提出學(xué)習(xí)不應(yīng)是“學(xué)答”，而是“學(xué)問”，即首先得 “學(xué)會問”。 掌握數(shù)學(xué)的基本概念、公式和定理等基本知識是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，背得爛熟 是沒有多大價(jià)值的，要真正理解它們。怎樣才算真正理解它們？不僅要弄懂它們 的內(nèi)涵和外延，還要了解引入的檔州李必要性跡攜以及與其它知識的聯(lián)系等。做題時(shí)同樣要 多問“為什么”，不能做完題就了事，還要知道是怎么做的，為什么這樣做，還 可以怎么做，本題的分析方法、解法在其它問題中是否用到過等。只有多問為什 么，才不會停留在知識的表面和膚淺的理解，真正把握知識本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的思 維深度。
四、注重知識的性，拓展思維的深度
數(shù)學(xué)知識之間有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識在各自的發(fā)展過程中的 縱向聯(lián)系和各部分之間的橫向聯(lián)系，善于尋找它們之間的聯(lián)系，有利于學(xué)生從系 統(tǒng)的高度思考問題，把握問題的實(shí)質(zhì)。例如，在學(xué)習(xí)圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，通過 與已經(jīng)學(xué)過的點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系相類比，很容易得到圓與 圓的位置關(guān)系。把知識放在中學(xué)習(xí)，方便記憶，便于理解。最重要的是，在 把知識進(jìn)行分類、梳理、綜合、尋找規(guī)律的過程中培養(yǎng)了思維的深刻性。 數(shù)學(xué)是一門思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的核心，又有研究發(fā)現(xiàn)數(shù) 學(xué)的思維品質(zhì)以深刻性和廣闊性為基礎(chǔ)，因行遲此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中利用數(shù)學(xué) 知識這一載體，創(chuàng)造機(jī)會提高學(xué)生的思維能力，打開學(xué)生的智慧之門.
你洞穗可以找一本書學(xué)習(xí)，如《初中幾何解題方跡笑法與分析》----北京教姿顫含育出版社出版，2008年9月第1版
選擇題是初中數(shù)學(xué)測試中最常見的題型，屬于客觀題，一般由題干和備選項(xiàng)兩部分組成，且答案唯一。
選擇題具有一定的深度和綜合性，要求同學(xué)們要牢固、全面的掌握所學(xué)基礎(chǔ)知識，同時(shí)具備概括、分析、評價(jià)等能力。
1、排除法（篩選法）
從已知條件出發(fā)，結(jié)合選項(xiàng)，通過觀察、分析、猜想、計(jì)算等方法一一排除明顯出錯(cuò)的答案，縮小思考范圍，提高解題的速度。
比如二次函數(shù)和一次函數(shù)圖像的選擇題，逐一排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而確定正確的一項(xiàng)。
2、驗(yàn)證法
把各個(gè)選擇項(xiàng)代入原題加以驗(yàn)證，看是否符合題意，然后得出結(jié)論。比如圖像是否經(jīng)過這點(diǎn)，就可以用驗(yàn)證的方法帶入題中，得出正確的選項(xiàng)。
3、特殊值法
根據(jù)題設(shè)條件，選取恰當(dāng)?shù)奶厥鈹?shù)者差喊值，替代題中的字母和數(shù)式，通過計(jì)算，得出答案，再類推一般性答案，從而得出正確答案。
比如規(guī)律題，推理結(jié)果時(shí)，可以用一些數(shù)值來進(jìn)行驗(yàn)證。
★填空題
填空題是初中數(shù)學(xué)測試中常見的一種基本題型，突出考查同學(xué)們準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活的運(yùn)用知識進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。
填空題只要求寫答案，缺少選項(xiàng)提供的目標(biāo)信息，結(jié)果正確與否難以判斷，一步失誤，全題零分，要想又快又準(zhǔn)首野的做好填空題，要在「準(zhǔn)、巧、快」三字上下功夫。
1、直接法
直接法是解填空題最基本的方法，它要求同學(xué)們直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識。通過推理和運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果。
2、數(shù)形結(jié)合法
數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它要求同學(xué)們在解題時(shí)，根據(jù)題目條件的具體特點(diǎn)，做出符合題意的圖形，從而做到數(shù)中想形，以形助數(shù)。
通過對圖像的觀察、分析和研究、啟發(fā)解題思路，找出問題的隱含條件，從而簡化解題過程，檢驗(yàn)解題結(jié)果。
★解答題
解答題是需要寫出解題過程的題型，在中考數(shù)學(xué)試題中占相當(dāng)大的比重，考試的競爭也集中在解答題的得分率上。
解答題涉及的知識點(diǎn)多、覆蓋面廣，綜合性強(qiáng)、跨度大、解法靈活，涉及數(shù)式計(jì)算、函數(shù)圖像及性質(zhì)的計(jì)算應(yīng)用等。
解題的關(guān)鍵是從題目的語言敘述中獲取「符號信息」，從題目的圖像、圖形中獲取「形象信息」，靈活應(yīng)用定義、公式、性質(zhì)、定理進(jìn)行計(jì)算和推理。運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想，構(gòu)建各種數(shù)學(xué)模型解決問題。
1、構(gòu)造圖形
復(fù)雜的幾何圖形問題，一般需要添加恰當(dāng)?shù)妮o助線才能順利解決，如連接、延長、做平行、做垂直等，將不規(guī)則、不常見的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則或特殊的圖像求解。
如：構(gòu)造等長線段、三線八角、全等三角形、相似三角形、直角三角形等，從而利用特殊圖形的性質(zhì)和判定解決問題。
2、動(dòng)靜結(jié)合
在圖形的運(yùn)動(dòng)變化過程中，需要認(rèn)真研究圖形的變化規(guī)律，抓住主動(dòng)變量與從動(dòng)變量，動(dòng)靜結(jié)合，從中探索出它們之間的關(guān)系，利用函數(shù)關(guān)系解決。
數(shù)學(xué)重在練習(xí)，在實(shí)戰(zhàn)中要注重總結(jié)解題技巧和方法。
有時(shí)我們做了幾張卷子都在練習(xí)一種解題思路和方法，這時(shí)需要舉一反三，一題多解。
多解歸一是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最有效的方法，在探索中和體驗(yàn)中找到解題的突破點(diǎn)，不至于陷入題海無法自拔，還給自己增添了壓力和負(fù)擔(dān)。
答題思路
★函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想是指運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，通過建立函數(shù)關(guān)系運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。
方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式模型去解決問題。
同學(xué)們在解題時(shí)，可利用轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行函數(shù)與方程間的相互轉(zhuǎn)化。
★特殊與一般的思想
用這種思想解選擇題有時(shí)特別有效，因?yàn)橐粋€(gè)命題在普遍意義上成立時(shí)，在其特殊情況下也必然成立，根據(jù)這一點(diǎn)，同學(xué)們可以直接確定選擇題中的正確選項(xiàng)。
不僅如此，用這種思想方法去探求主觀題的求解策略，也同樣有用。慶野
★極限思想
極限思想解決問題的一般步驟為：
1、對于所求的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量；
2、確認(rèn)這變量通過無限過程的結(jié)果就是所求的未知量；
3、構(gòu)造函數(shù)（數(shù)列）并利用極限計(jì)算法，得出結(jié)果或利用圖形的極限位置直接計(jì)算結(jié)果。
★分類討論思想
同學(xué)們在解題時(shí)常常會遇到這樣一種情況，解到某一步之后，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行下去。
這是因?yàn)楸谎芯康膶ο蟀硕喾N情況，這就需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合歸納得解，這就是分類討論。
引起分類討論的原因很多，數(shù)學(xué)概念本身具有多種情形，數(shù)學(xué)運(yùn)算法則、某些定理、公式的限制，圖形位置的不確定性，變化等均可能引起分類討論。
建議同學(xué)們在分類討論解題時(shí)，要做到標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一
數(shù)學(xué)幾何題的常見解題切入點(diǎn)：
第一：構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形在解決問題的過程中，有時(shí)添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其敬裂余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學(xué)生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個(gè)原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形。
第二：做不出、找相似，有相似、用相似
壓軸題牽涉到的知識點(diǎn)較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高。學(xué)生往往不知道該怎樣入手，這時(shí)往往應(yīng)根據(jù)題意去尋找相似三角形。
第三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論
在圖形運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，圖形的位置、大小亮鄭閉、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個(gè)角或某兩個(gè)三角形所對應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。
第四：在題目中尋找多解的信息
例如：1.已知一個(gè)三角形的兩個(gè)角是30°和45°，一邊上的高是20米，求這個(gè)三角形的面積
2.矩形ABCD的邊AB=2,BC=4,P為矩形ABCD邊上一點(diǎn)，連接叢宏AP，若直線AP，BD交點(diǎn)為M，若三角形PAB為等腰三角形，則AM的長為多少？
如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)提問題的能力至關(guān)重要，它是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的基礎(chǔ)，也是每一位教師都握巖局值得探討的課題。筆者對此淺談如下自己的看法：一、加強(qiáng)對問題意識及其培養(yǎng)的認(rèn)識所謂“問題意識”是指問題成為學(xué)生感知和思維的對象，從而在學(xué)生心里造成一種懸而未解決但有必須解決的求知狀態(tài)。沒有強(qiáng)烈的問題意識，就不可能激發(fā)學(xué)生認(rèn)識的沖動(dòng)性和思維的活躍性，更不可能激發(fā)學(xué)生的求異思維和創(chuàng)造思維。數(shù)學(xué)問題意識是基于問題意識概念的基礎(chǔ)上提出的，它以質(zhì)疑為內(nèi)核，以發(fā)表不同意見為表現(xiàn)形式。是指教師把學(xué)生引入情境所隱含的“數(shù)學(xué)問題”中，使學(xué)生知覺到現(xiàn)有條件和目標(biāo)實(shí)現(xiàn)之間需要解決的矛盾、疑難等，從而產(chǎn)生的一種懷疑、困感、焦慮的心理狀態(tài)。這種心理狀態(tài)又驅(qū)使個(gè)體積極思維，不斷提出問題，解決問題，形成自己的見解。學(xué)生問題意識培養(yǎng)是學(xué)生通過觀察、體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)問題、形成問題意識，并形成探索的理念，在教師引導(dǎo)、幫助激勵(lì)下找到解決問題的方法，并形成學(xué)會學(xué)習(xí)的一種方法。學(xué)生的問題意識培養(yǎng)：應(yīng)從改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式入手，以問題為主線，變被動(dòng)地學(xué)習(xí)為主動(dòng)地學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，使學(xué)生思維向敏捷性、創(chuàng)造性、獨(dú)立性和批判性發(fā)展，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。二、培養(yǎng)學(xué)生的問題意識的原則1、導(dǎo)向性原則學(xué)生問題意識的培養(yǎng)首先要在現(xiàn)代教育理論和先進(jìn)的教育教學(xué)、現(xiàn)代管理理論的指導(dǎo)下進(jìn)行，緊緊把握培養(yǎng)的方向。在創(chuàng)新學(xué)習(xí)課堂中則體現(xiàn)“以教為主導(dǎo)、學(xué)為主體、疑為主軸、動(dòng)為主線”的教學(xué)原則。注重教給學(xué)生學(xué)習(xí)方法，把棗皮培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力放在學(xué)校、教師的重要位置，為學(xué)生形成終身學(xué)習(xí)能力奠定良好的基礎(chǔ)2、科學(xué)性的原則問題意識培養(yǎng)從培養(yǎng)的方法和技巧上都力求科學(xué)合理，項(xiàng)目的分類具體簡明，易于操作。3、交流反饋原則要使實(shí)驗(yàn)取得成功，富有實(shí)效，最根本的方法是暢通實(shí)驗(yàn)的信息渠道，實(shí)驗(yàn)中的要求應(yīng)及時(shí)貫徹，實(shí)驗(yàn)中碰到的具體問題應(yīng)及時(shí)解決。因此，實(shí)驗(yàn)中，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)機(jī)會，多途徑交流反饋，使實(shí)驗(yàn)始終在互動(dòng)中實(shí)施。三、培養(yǎng)學(xué)生的問題意識的策略1、營造和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境要培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，首先要破除這種“習(xí)慣”和“成見”，營造寬松、自由的教學(xué)氛圍，建立平等、民主的師生關(guān)系，鼓動(dòng)學(xué)生大膽質(zhì)疑、提問，鼓勵(lì)學(xué)生求新求異；其次，要保護(hù)學(xué)生的好奇心，正確對待學(xué)生的提問。不譏諷、不嘲弄，挖掘其可貴之處。特別要鼓勵(lì)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。青少年學(xué)生好奇心強(qiáng)，求知欲旺盛，這正是問題意識的表現(xiàn)，教師要充分愛護(hù)和尊重學(xué)生的問題意識。作為教師，作為學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者，應(yīng)積極地看，認(rèn)真地聽，設(shè)身處地的感受學(xué)生的所作所為，所思段讓所想，積極鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問題，允許出錯(cuò)，允許改正，允許保留意見，對學(xué)生提出的一些意想不到的“高見”，要及時(shí)采納并給予充分肯定。有了這樣適宜的環(huán)境，學(xué)生的問題意識就可以獲得充分發(fā)揮和顯示，各種奇思異想，獨(dú)立見解就會層出不窮。2、激發(fā)學(xué)生的提問興趣興趣是學(xué)習(xí)的最佳動(dòng)力。心理學(xué)認(rèn)為，內(nèi)發(fā)的動(dòng)機(jī)是很重要的，而內(nèi)發(fā)性的動(dòng)機(jī)的中心是興趣。如果教師提出的問題能夠較好的創(chuàng)設(shè)條件培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣，增強(qiáng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動(dòng)的欲望，他們就有了學(xué)習(xí)的原動(dòng)力。因此，教師必須從教材和學(xué)生心理特點(diǎn)出發(fā)，引人入勝地、步步深入地提出富有趣味性、啟發(fā)性的問題，用科學(xué)的、藝術(shù)的、生動(dòng)的語言吸引學(xué)生去積極思考、作答。3、教學(xué)中滲透質(zhì)疑方法和技巧的指導(dǎo)葉瀾教授指出：課堂教學(xué)是一個(gè)師生間積極互動(dòng)的過程。作為學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者，課堂教學(xué)中，教師應(yīng)積極地看，積極地聽，設(shè)身處地地感受學(xué)生的所作所為、所思所想，積極鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，允許出錯(cuò)，允許改正，允許保留意見。對學(xué)生提出的一些意想不到的“高見”，要及時(shí)采納并給予充分肯定。因此本課題研究的關(guān)鍵是滲透質(zhì)疑的方法和技巧的指導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生自由地進(jìn)行逆向思維、求異思維、發(fā)散思維，大膽懷疑，大膽想象，大膽創(chuàng)新，并能對某些帶有共性的看法或結(jié)論質(zhì)疑，得出自己的結(jié)論。4、引入競爭機(jī)制，合理評價(jià)在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，教師充分發(fā)揮評價(jià)的激勵(lì)和導(dǎo)向功能，運(yùn)用有聲語言、無聲語言通過即時(shí)性評價(jià)激趣，鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)自己的意見，能讓學(xué)生享受成功的喜悅，建立自信，可以使學(xué)生的問題意識得以不斷增強(qiáng)。教師在教學(xué)中不論學(xué)生提的問題質(zhì)量如何，都應(yīng)給予鼓勵(lì)，做出有利于學(xué)生思維發(fā)展的評價(jià)，這是提高學(xué)生對問題探究興趣的有效手段。如當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索學(xué)習(xí)過程中，由于學(xué)生能力的差異，有的學(xué)生所提的問題會偏離教學(xué)的軸心，有的問題可能十分幼稚和膚淺。教師對此不能輕易“亮黃牌”，應(yīng)既給予肯定表揚(yáng)，又要適當(dāng)指出問題的所在，這樣既不打擊學(xué)生積極性，又能把學(xué)生的思維引導(dǎo)到所要探索的問題上來，培養(yǎng)學(xué)生正確的思維方法，消除學(xué)生的“問題”心理障礙，增強(qiáng)學(xué)生提出問題的信心和勇氣。學(xué)生有時(shí)會提出許多新奇的問題和好的解法，教師應(yīng)該及時(shí)給予十分到位的表揚(yáng)鼓勵(lì)，甚至以學(xué)生本人的名字去命名他的發(fā)現(xiàn)成果。對學(xué)生閃出的這些創(chuàng)造性思維的火花的及時(shí)捕捉，及時(shí)展示，會激勵(lì)他們不斷地再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)另外要使學(xué)生逐步提高提問的質(zhì)量，教師還要注意適時(shí)總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生評價(jià)。對學(xué)生的提問教師要表現(xiàn)出極大熱情，不能置之不理或做簡單的結(jié)論性回答，滲透給學(xué)生問就比不問強(qiáng)，要經(jīng)常表揚(yáng)敢于提問的學(xué)生。其次，建立提問記錄冊。在學(xué)生小組的評價(jià)中，組長專門有一項(xiàng)是記錄組員的提問情況，每個(gè)學(xué)生記錄自己提問的問題與次數(shù)，與學(xué)期的評定掛鉤。
